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| Aufgabe | Bezeichne [mm] $f_h$ [/mm] die durch [mm] $f_h(x) [/mm] := [mm] \frac{1}{2h} \int_{x-h}^{x+h} [/mm] f(t) dt$ definierte Glättung einer stetigen Funktion $f : [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. [/mm] Man zeige, dass [mm] $f_h$ [/mm] eine [mm] $C^1$-Funktion [/mm] ist mit
$$f'_h(x) = [mm] \frac{1}{2h} [/mm] (f(x + h) - f(x - h))$$
und berechne [mm] $f_h$ [/mm] für $f(x) := [mm] \mid [/mm] x [mm] \mid$ [/mm] |
hi
bin mir bei der aufgabe unsicher, was genau (alles) von mir verlangt ist.
1.) muss ich explizit zeigen, dass [mm] $f_h$ [/mm] einmal stetig differenzierbar ist, oder ist das "automatisch" durch die angabe von $f'_h(x)$ geschehen?
die formel für $f'_h (x)$ habe ich gezeigt.
2.) bei der berechnung von [mm] $f_h$ [/mm] für $f(x) := [mm] \mid [/mm] x [mm] \mid$ [/mm] bin ich mir etwas unsicher, wie mein term dann überhaupt aussieht, also wofür genau $f(x) := [mm] \mid [/mm] x [mm] \mid$ [/mm] steht.
ich dachte mir, mein term zur berechnung sieht dann so aus:
[mm] $$f_h(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2h} \int_{x-h}^{x+h} \mid [/mm] t [mm] \mid [/mm] dt $$
richtig gedacht? oder hat das $f(x)$ was mit den integrationsgrenzen zu tun...? (wenn ja - wie sieht das aus...?)
danke schonmal & gruß, GB
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Fr 26.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Bezeichne [mm]f_h[/mm] die durch [mm]f_h(x) := \frac{1}{2h} \int_{x-h}^{x+h} f(t) dt[/mm]
> definierte Glättung einer stetigen Funktion [mm]f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/mm].
> Man zeige, dass [mm]f_h[/mm] eine [mm]C^1[/mm]-Funktion ist mit
>
> [mm]f'_h(x) = \frac{1}{2h} (f(x + h) - f(x - h))[/mm]
>
> und berechne [mm]f_h[/mm] für [mm]f(x) := \mid x \mid[/mm]
> hi
>
> bin mir bei der aufgabe unsicher, was genau (alles) von mir
> verlangt ist.
>
> 1.) muss ich explizit zeigen, dass [mm]f_h[/mm] einmal stetig
> differenzierbar ist, oder ist das "automatisch" durch die
> angabe von [mm]f'_h(x)[/mm] geschehen?
Du musst zeigen, dass [mm] f_h [/mm] stetig differenzierbar ist. Wenn du die Differenzierbarkeit hast, folgt die Stetigkeit der Ableitung ja einfach aus der Formel für $f'_h$.
> die formel für [mm]f'_h (x)[/mm] habe ich gezeigt.
>
> 2.) bei der berechnung von [mm]f_h[/mm] für [mm]f(x) := \mid x \mid[/mm] bin
> ich mir etwas unsicher, wie mein term dann überhaupt
> aussieht, also wofür genau [mm]f(x) := \mid x \mid[/mm] steht.
> ich dachte mir, mein term zur berechnung sieht dann so
> aus:
> [mm]f_h(x) = \frac{1}{2h} \int_{x-h}^{x+h} \mid t \mid dt[/mm]
>
> richtig gedacht?
Ja.
Gruß, Robert
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danke schonmal für die antworten 
habe mich mal an der berechnung versucht:
[mm] $$f_h(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2h} \cdot \int\limits_{x-h}^{x+h} \mid [/mm] t [mm] \mid [/mm] dt = [mm] \frac{1}{2h} \cdot \Biggl[ \frac{1}{2} [/mm] t [mm] \mid [/mm] t [mm] \mid\Biggr]_{x-h}^{x+h} [/mm] = [mm] \\
[/mm]
= [mm] \frac{1}{4h} \cdot \Bigl[(x [/mm] + [mm] h)~\cdot \mid [/mm] x + h [mm] \mid [/mm] - (x - [mm] h)~\cdot \mid [/mm] x - h [mm] \mid \Bigr] [/mm] $$
hier bin ich mir nicht ganz sicher, wie ich das weiter vereinfachen kann. da mir auch nix wirklich schlaues eingefallen ist dachte ich, ich kann das zu binomischen formeln zusammenfassen und aufgrund des quadrats die betragstriche weglassen?? also so:
$$
= [mm] \frac{1}{4h} \cdot \Bigl[(x [/mm] + [mm] h)^2 [/mm] - (x - [mm] h)^2 \Bigr] [/mm] =
= [mm] \frac{1}{4h} \cdot (x^2 [/mm] + 2hx + [mm] h^2 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + 2hx - [mm] h^2) [/mm] = [mm] \\
[/mm]
= [mm] \frac{1}{4h} \cdot [/mm] 4hx = x$$
aber irgendwie bezweifel ich, dass das stimmt.. ![[help]](/images/smileys/help.gif "[help]")
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Fr 26.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Das geht so nicht. Du musst einfach knallhart ne Fallunterscheidung machen.
Gruß, Robert
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zunächst nochmal meine rechnung:
[mm] $$f_h(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2h} \cdot \int\limits_{x-h}^{x+h} \mid [/mm] t [mm] \mid [/mm] dt = [mm] \frac{1}{2h} \cdot \Biggl[ \frac{1}{2} [/mm] t [mm] \mid [/mm] t [mm] \mid\Biggr]_{x-h}^{x+h} [/mm] = $$
$$= [mm] \frac{1}{4h} \cdot \Bigl[(x [/mm] + [mm] h)~\cdot \mid [/mm] x + [mm] h\mid [/mm] - (x - [mm] h)~\cdot \mid [/mm] x - [mm] h\mid \Bigr]$$ [/mm]
so, mal sehen ob meine fallunterscheidungen richtig / vollständig sind:
$ [mm] \mid [/mm] x + h [mm] \mid:$
[/mm]
$$ x + h > 0 [mm] \quad \vee \quad [/mm] x + h < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x > -h [mm] \quad \vee [/mm] x < -h$$
$$ [mm] z_1 [/mm] (x) = [mm] \begin{cases} x + h, & \mbox{für } x \ge -h \\ -x - h, & \mbox{für } x < -h \end{cases}$$
[/mm]
$ [mm] \mid [/mm] x - h [mm] \mid [/mm] $
$$ x - h > 0 [mm] \quad \vee \quad [/mm] x - h < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x > h [mm] \quad \vee [/mm] x < h$$
$$ [mm] z_2 [/mm] (x) = [mm] \begin{cases} x - h, & \mbox{für } x \ge h \\ -x - h, & \mbox{für } x < h \end{cases}$$
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $
1. Fall: $x [mm] \ge [/mm] -h [mm] \wedge [/mm] x [mm] \ge [/mm] h$, also $x [mm] \ge [/mm] -h$
2. Fall: $x [mm] \ge [/mm] -h [mm] \wedge [/mm] x < h$, also $-h [mm] \le [/mm] x < h$
3. Fall: $ x < -h [mm] \wedge [/mm] x [mm] \ge [/mm] h$, Widerspruch
4. Fall: $x < -h [mm] \wedge [/mm] x < h$, also $x < h$
sind das die fallunterscheidungen, die hier zu berücksichtigen sind?
danke & gruß, GB
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 30.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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