Differentiation im R^n < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi,
vor kurzem wurde bei uns die Differentiation mehrerer Variablen begonnen.
Aus Zeitdruck wurde alles ziemlich hastig und spärlich erklärt vorgetragen, so dass ich noch ein paar generelle Fragen habe. Ich würd ein paar Sachen so wiedergeben, wie ich sie verstanden hab und es wär echt nett, wenn das mal jemand durchsehen könnte. :)
Also, da die "normale" Definition der Ableitung bei Funktionen f: [mm] \IR^{n}\to\IR^{m} [/mm] nicht mehr funktioniert, ist sie hier definiert als lineare Abbildung A(h), für die gilt:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\parallel f(x+h)-f(x)-A(h)\parallel}{\parallel h\parallel}=0 [/mm] für [mm] x=(x_{1},....,x_{n})
[/mm]
Dieses A(h) ist dann die Ableitung.
Zu der lin. Abbildung A(h) gibt es eine assozierte Matrix, die bei Nutzung der Standardbasen die Jacobi-Matrix ist.
1. Frage dazu: Wenn ich die Matrix habe, dann ist das ja nicht die Abbildung selbst, sondern ihre Matrixdarstellung. Wenn ich also zu einer gegebenen Fkt. die Ableitung berechnen soll, genügt dann diese Matrix, oder muss ich da noch zusätzlich etwas machen?
Hinsichtlich des Gradienten:
Sei [mm] f(x_{1},...,x_{n}) [/mm] Funktion auf einem Gebiet [mm] g\subseteq\IR^{n}
[/mm]
Dann heißt der Vektor grad [mm] f(x)=(\bruch{\partial f}{\partial x_{1}}(x),...,\bruch{\partial f}{\partial x_{n}}(x)) [/mm] Gradient von f in x.
2. Frage: Dieser Vektor weißt anschaulich in die Richtung des größten Anstieges. Laut unserem Prof. sagt die Länge dieses Vektors nichts aus, aber nach einem Skript, das ich gefunden hatte, ist die Länge ein Maß für die Steilheit. Was stimmt?
3. Frage: Die Richtungsableitung in eine Richtung ist dann nichts weiter als das Skalarprodukt von Gradient und der gegebenen Richtung des normierten Vektors, oder?
4. Frage: Auch wenn's dumm klingt, aber ist der Gradient somit nur für Fkt. [mm] f:\IR^{n} \to \IR [/mm] definiert?
Ich denk, dass ist erstmal genug, aber da werden sicher noch andere Unklarheiten aufkommen. :)
Thx euch
PS: Wenn jemand ein gutes Skript dazu kennt, würde ich mich über nen Link freuen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo steelscout,
> Also, da die "normale" Definition der Ableitung bei
> Funktionen f: [mm]\IR^{n}\to\IR^{m}[/mm] nicht mehr funktioniert,
> ist sie hier definiert als lineare Abbildung A(h), für die
> gilt:
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\parallel f(x+h)-f(x)-A(h)\parallel}{\parallel h\parallel}=0[/mm]
> für [mm]x=(x_{1},....,x_{n})[/mm]
> Dieses A(h) ist dann die Ableitung.
> Zu der lin. Abbildung A(h) gibt es eine assozierte Matrix,
> die bei Nutzung der Standardbasen die Jacobi-Matrix ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 1. Frage dazu: Wenn ich die Matrix habe, dann ist das ja
> nicht die Abbildung selbst, sondern ihre Matrixdarstellung.
> Wenn ich also zu einer gegebenen Fkt. die Ableitung
> berechnen soll, genügt dann diese Matrix, oder muss ich da
> noch zusätzlich etwas machen?
Die Matrix reicht.
> Hinsichtlich des Gradienten:
> Sei [mm]f(x_{1},...,x_{n})[/mm] Funktion auf einem Gebiet
> [mm]g\subseteq\IR^{n}[/mm]
> Dann heißt der Vektor grad [mm]f(x)=(\bruch{\partial f}{\partial x_{1}}(x),...,\bruch{\partial f}{\partial x_{n}}(x))[/mm]
> Gradient von f in x.
> 2. Frage: Dieser Vektor weißt anschaulich in die Richtung
> des größten Anstieges. Laut unserem Prof. sagt die Länge
> dieses Vektors nichts aus, aber nach einem Skript, das ich
> gefunden hatte, ist die Länge ein Maß für die Steilheit.
> Was stimmt?
> 3. Frage: Die Richtungsableitung in eine Richtung ist dann
> nichts weiter als das Skalarprodukt von Gradient und der
> gegebenen Richtung des normierten Vektors, oder?
Ich finde es gibt gute Gründe der Länge des Gradienten eine Bedeutung zu zusprechen. Betrachtet man zB die Funktion mit [mm] $x\mapsto 2\cdot [/mm] f(x)$, ist es ja auch logisch, dass die $2$ dirket die Steilheit an jeder Stelle verdoppelt - und der Gradient wird ja auch um $2$ gestreckt.
> 4. Frage: Auch wenn's dumm klingt, aber ist der Gradient
> somit nur für Fkt. [mm]f:\IR^{n} \to \IR[/mm] definiert?
Ja, der Gradient ist ja der Vektor [mm] $\vektor{\frac{\partial f}{\partial x_1}\\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n}}$ [/mm] von daher klappt das nur für $f: [mm] \IR^n \to \IR$.
[/mm]
Gruß Max
|
|
|
|
