Differentiation Mehrdimensiona < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Di 14.08.2012 | | Autor: | Reen1205 |
| Aufgabe | | Für eine Aufgabe brauche ich die Ableitung von [mm] f(x,y) = \wurzel{2} * sin(arctan(\frac{y}{x})[/mm] nach x und nach y! |
Ich weiß, dass ich bei Ableitungen mit mehreren Variablen die Variable nach der ich nicht ableite wie eine Konstante behandele.
Woran ich mich jetzt allerdings aufhänge: Ich möchte gerne den Ausruck [mm] arctan(\frac{y}{x})[/mm] einmal über die Umkehrfunktionsableitung ableiten bzw. verstehen und nachvollziehen können.
Die Ableitung einer Umkehrfunktion ist:
[mm]g'(y) = \frac{1}{f'(x)} [/mm]
Wenn ich das jetzt auf die 2 Variable x,y anwende bekomme ICH Probleme mit dem Umstellen.
[mm]arctan \frac{y}{x} = f(x,y)[/mm]
[mm]tan (arctan \frac{y}{x}) = tan (f(x,y)) [/mm]
Ich denke hier ist schon mein Fehler. Vielleicht könnte mir einer sagen, ob meine Überlegung der Berechnung der Umkehrfunktion im Mehrdimensionalen überhaupt funktioniert oder wo bzw. wie ich das f(x,y) umschreiben kann.
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> Für eine Aufgabe brauche ich die Ableitung von [mm]f(x,y) = \wurzel{2} * sin(arctan(\frac{y}{x})[/mm]
> nach x und nach y!
> Ich weiß, dass ich bei Ableitungen mit mehreren Variablen
> die Variable nach der ich nicht ableite wie eine Konstante
> behandele.
>
> Woran ich mich jetzt allerdings aufhänge: Ich möchte
> gerne den Ausruck [mm]arctan(\frac{y}{x})[/mm] einmal über die
> Umkehrfunktionsableitung ableiten bzw. verstehen und
> nachvollziehen können.
>
> Die Ableitung einer Umkehrfunktion ist:
>
> [mm]g'(y) = \frac{1}{f'(x)}[/mm]
>
> Wenn ich das jetzt auf die 2 Variable x,y anwende bekomme
> ICH Probleme mit dem Umstellen.
> [mm]arctan \frac{y}{x} = f(x,y)[/mm]
> [mm]tan (arctan \frac{y}{x}) = tan (f(x,y))[/mm]
>
> Ich denke hier ist schon mein Fehler. Vielleicht könnte
> mir einer sagen, ob meine Überlegung der Berechnung der
> Umkehrfunktion im Mehrdimensionalen überhaupt funktioniert
> oder wo bzw. wie ich das f(x,y) umschreiben kann.
Es geht hier nicht um eine "Umkehrfunktion im Mehrdimensionalen".
Arctan ist und bleibt eine Funktion mit einer einzigen Variablen.
Es macht also kaum Sinn, dass du hier die zwei Aspekte
Umkehrfunktion und Mehrdimensionalität in einen Topf werfen
willst.
Bei der vorliegenden Aufgabe könnte eventuell eine andere
Betrachtungsweise nützlich sein. Man kann nämlich die
trigonometrischen Funktionen hier ganz eliminieren, denn
es gilt
$\ sin(arctan(t))\ =\ [mm] \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$
[/mm]
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Di 14.08.2012 | | Autor: | Reen1205 |
Okay das ist dann einfacher. Woher weißt du das? Das das gilt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Di 14.08.2012 | | Autor: | Reen1205 |
Ich glaube ich habe da was im Forum gefunden.
[mm]tan x=\frac{sin x}{cos x}[/mm]
[mm] sin x = tan x * cos x[/mm]
Also benutze ich diesen Trick jetzt um
[mm] sin(arctan (t)) [/mm]
in [mm] tan (arctan(t)) * cos (arctan(t)) [/mm] umzuwandeln?
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> Okay das ist dann einfacher. Woher weißt du das? Das das gilt?
Das hab ich mir gerade kurz anhand einer einfachen
Skizze und einer Vorzeichenüberlegung klar gemacht.
In der Skizze ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einem
spitzen Winkel [mm] \alpha [/mm] , Gegenkathete = t = [mm] tan(\alpha) [/mm] , Ankathete = 1
und Hypotenuse = [mm] \sqrt{1+t^2} [/mm] (Pythagoras)
Die innere Funktion arctan liefert stets Werte (Winkel)
[mm] \alpha [/mm] zwischen [mm] -\pi/2 [/mm] und [mm] +\pi/2 [/mm] . Das Vorzeichen von
[mm] \alpha [/mm] ist dabei auch gleich dem von t und von [mm] sin(\alpha).
[/mm]
Für den Sinus gilt (für positives [mm] \alpha) [/mm] die Darstellung
Sinus=Gegenkathete/Hypotenuse.
Formeln dieser Art merke ich mir also nicht auswendig,
sondern "inwendig", indem ich mich darauf stütze,
sie bei Bedarf jederzeit rasch herleiten zu können ... 
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Di 14.08.2012 | | Autor: | Reen1205 |
Okay. Das Herleiten interessiert mich besonders. Ich möchte sowas auch lieber herleiten können als auswendig lernen. Wieso nimmst du denn die Gegenkathete als [mm]tan (t) [/mm] und nicht als [mm]arctan (t)[/mm]
Okay. Ich habe es gerade nochmal alles nachgerechnet. Und komme auch auf jene Vereinfachung. Ich versuche das gleiche jetzt noch einmal mit cos(arctan(x)), wobei ich gerade sehe, dass es das gleiche Ergebnis ist. Aber nur um zu überprüfen ob ich das Herleiten auch kann. Gibt es noch solche Aufgaben an denen ich das üben kann? Also kennt ihr welche?
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> Okay. Das Herleiten interessiert mich besonders. Ich
> möchte sowas auch lieber herleiten können als auswendig
> lernen. Wieso nimmst du denn die Gegenkathete als [mm]tan (t)[/mm]
Habe ich das ? Ich glaube kaum !
Ich habe t = [mm] \frac{t}{1} [/mm] für den Tangenswert eines Winkels gesetzt.
Den Winkel bezeichne ich natürlich nicht auch mit t,
denn das wäre absolut unsinnig.
Den Winkel habe ich mit [mm] \alpha [/mm] bezeichnet.
> Okay. Ich habe es gerade nochmal alles nachgerechnet. Und
> komme auch auf jene Vereinfachung. Ich versuche das gleiche
> jetzt noch einmal mit cos(arctan(x)), wobei ich gerade
> sehe, dass es das gleiche Ergebnis ist.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
cos(arctan(x)) = sin(arctan(x)) ???
das würde mich aber sehr wundern ...
LG
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Dein Wundern ist berechtigt. In meiner jugendlichen Hektik habe ich alles durcheinander geworfen.
[mm]cos(arctan(x))[/mm]
Vor mir liegt eine Zeichnung mit einem rechtwinkligen Dreieck mit Winkel [mm]\alpha[/mm]. Gegenkathete = a, Ankathete= b, Hypothenus = [mm]\wurzel{a^2+b^2}[/mm]
Ich wähle nun [mm] x = tan \alpha = \frac{a}{b} [/mm]
Der Cos in diesem Dreieck lautete [mm] \frac{b}{\wurzel{a^2+b^2}} [/mm]
Nach Umstellung des Ausdrucks in eine Form in der ich [mm]x=tan \alpha = \frac{a}{b} [/mm] wiederfinde bekomme ich:
[mm] \frac{b}{ b * \wurzel {(\frac{a}{b})^2 + 1}} = \frac{1}{\wurzel {(\frac{a}{b})^2 + 1}} = \frac{1}{ \wurzel {x^2 + 1}}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 17.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hi,
ich leite mir solche Sachen gerne am Dreieck her, aber ich denke, dass dort jeder seine Vorlieben hat. Deine Idee mit $ [mm] \sin{x}=\tan{x}*\cos(x) [/mm] $ ist genauso brauchbar wie folgender Vorschlag:
nimm dir ein rechtwinkliges dreieck mit katheten a und b. Die Hypothenuse entspricht dann $ [mm] c=\sqrt{a^2+b^2} [/mm] $ nach pythagoras. Sei nun $ [mm] \alpha [/mm] $ der von b und c eingeschlossene Winkel, dann ist $ [mm] \tan{\alpha}=\frac{a}{b} [/mm] $ und dementsprechend $ [mm] \alpha=\arctan\frac{a}{b} [/mm] $. Mit $ a=t $ und $ b=1 $ folgt das Ergebnis.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Di 14.08.2012 | | Autor: | Reen1205 |
Okay ich glaube ich habe den Dreh jetzt raus. Ich hoffe, dass diese Art und Weise der Herleitung auch eure ist (und damit richtig) :)
Ich nehme mein Ausgangsproblem. Für ein einfaches x. Also [mm]sin(arctan(x))[/mm]
Um nun das innere meines Sinus zu vereinfachen wähle ich [mm]x = tan \ \alpha[/mm]
In einem Dreieck mit Gegenkathete = a, Ankathete = b, Hypothenuse= c = [mm]\wurzel{a^2+b^2}[/mm] ist [mm] tan \ \alpha[/mm] damit [mm] \frac{a}{b}[/mm] und damit mein [mm]x = \frac{a}{b}[/mm].
Nun gucke ich mir einfach den sin dieses Dreiecks an, welcher [mm]\frac{a}{c}[/mm] ist forme alles so um, dass ich überall den ausdruck [mm]\frac {a}{b} [/mm] habe und komme auf [mm] \frac{a}{b} * \frac{1}{\wurzel{\frac{a^2}{b^2}+1}} [/mm] Nun ersetze ich die [mm]\frac{a}{b}[/mm] durch x und habe die Lösung.
Eine Frage habe ich jedoch jetzt noch. Ist sozusagen die erste Ersetzung des x = a/b nur als Substitution zu verstehen. Denn sonst hätte ich im Sinus ja [mm]sin(\frac{a}{b}[/mm]?
Oder habe ich jetzt meine ganze Arbeit wieder zunichte gemacht mit dieser Frage?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Di 14.08.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Reen1205,
die Substitution über die Größen im Dreieck ist durchaus erlaubt und führt bei so einem Ausdruck glücklicherweise auch zu Ausdrücken, bei denen Du den Quotienten wieder durch Dein x rücksubstituieren kannst, wobei Potenzen von x auftreten. Du hast also keineswegs Deine Arbeit vernichtet, sondern Du hast einen Weg gefunden, die Aufgabe zu lösen. Es gibt auch Ausdrücke, bei denen solch eine Rücksubstitution auf diese einfache Art und Weise nicht mehr möglich ist, dann muss man sich etwas anderes einfallen lassen. Hier gibt es aber leider kein Patentrezept, jede Aufgabe muss man individuell angehen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Sa 18.08.2012 | | Autor: | Helbig |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Um $\sin (\arctan x)$ zu vereinfachen, drücke den Sinus als algebraische Funktion vom Tangens aus. Und das Ganze auf dem Bild von $\arctan$, also dem Intervall $(-\pi/2;\pi/2)$.
Aus $\tan = \frac \sin \cos$ folgt der Reihe nach:
$\tan^2 = \frac {\sin^2} {\cos^2} = \frac {\sin^2} {1-\sin^2}$.
$\tan^2 - \tan^2\sin^2 = \sin^2$.
$\tan^2 = \sin^2(1+\tan^2)$
$\sin^2=\frac {\tan^2} {1+\tan^2$
$\sin = \frac \tan {\sqrt {1+\tan^2}}$. Dies folgt, weil $\tan$ und $\sin$ auf $(-\pi/2; \pi/2)$ dasselbe Vorzeichen haben, und dies ist so, weil $\cos$ dort positiv ist.
Mit der letzten Gleichung folgt:
$\sin (\arctan x) = \frac x {\sqrt {1+x^2}}$.
Dieses Rezept läßt sich auf andere Winkel- und Arkusfunktionen anwenden. Hierbei braucht man keine Dreiecksbetrachtungen, sondern nur ein schmales Repertoire an Eigenschaften der Winkelfunktionen, die wohl in jeder Analysisvorlesung bewiesen werden.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 Sa 18.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay das ist dann einfacher. Woher weißt du das? Das das
> gilt?
noch ein Weg:
Es gilt [mm] $x=\tan(\arctan(x))=\sin(\arctan(x))/\cos(\arctan(x))\,.$
[/mm]
Daher folgt mit Differenzierung nach [mm] $x\,$
[/mm]
[mm] $$\frac{d}{dx}x=1=\frac{\cos(\arctan(x))*\frac{1}{1+x^2}*\cos(\arctan(x))-\sin(\arctan(x))*(-\sin(\arctan(x)))*\frac{1}{1+x^2}}{\cos^2(\arctan(x))}\,.$$
[/mm]
Wegen des trigo. Pyth. also
[mm] $$\cos^2(\arctan(x))=\frac{1}{1+x^2}\,.$$
[/mm]
Also wieder wegen dem trigo. Pyth.
[mm] $$1-\sin^2(\arctan(x))=\frac{1}{1+x^2}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \sin^2(\arctan(x))=1-\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2}{1+x^2}\,.$$
[/mm]
Damit sollte man dann auch zum Ziel kommen! (Die Fallunterscheidungen
mit Vorzeichenbetrachtungen erspare ich mir hier einfach deswegen, weil
Du sie einerseits auch selbst machen kannst, und sie zum anderen auch
schon analog erwähnt wurden.)
P.S.
Die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion würde ich mir übrigens
einfach über deren Herleitung merken. Beispielsweise demnonstriere ich
Dir das am Arkustangens:
Aus
[mm] $$x=\arctan(\tan(x))$$
[/mm]
folgt mit Differentiation nach [mm] $x\,$ [/mm] unter Verwendung der Kettenregel
[mm] $$1=\arctan\,'(\tan(x))*\tan\,'(x)\,.$$
[/mm]
[mm] $\tan\,'$ [/mm] kannst Du berechnen (Quotientenregel), und mit [mm] $y:=\tan(x)$
[/mm]
kannst Du dann (mit geeigneter Einschränkung, aber davon gehe ich
eh schon die ganze Zeit aus!) [mm] $x=\arctan(y)$ [/mm] wieder reinschreiben.
Also:
Aus
[mm] $$\arctan\,'(\tan(x))=\frac{1}{\tan\,'(x)}=\cos^2(x)$$
[/mm]
folgt dann mit [mm] $x:=\arctan(y)$
[/mm]
[mm] $$\arctan\,'(y)=\cos^2(\arctan(y))\,.$$
[/mm]
Dies folgt, wenn man [mm] $\tan\,'(x)=1/\cos^2(x)$ [/mm] benutzt. Aber ebenso
kann man auch direkt [mm] $\tan\,'(x)=1+\tan^2(x)$ [/mm] benutzen (es ist leicht
nachzurechnen, dass [mm] $1+\tan^2=1/\cos^2$ [/mm] - trig. Pyth.).
Dann ist [mm] $\arctan\,'(y)=\frac{1}{1+\tan^2(\arctan(y))}=\frac{1}{1+y^2}\,.$
[/mm]
Du siehst: Im Prinzip machen wir das gleiche (von der Vorgehensweise)
wie das, was ich schon mal ganz oben gemacht habe.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:07 Sa 18.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
und weil's so schön ist, noch eine Variante:
Aus
$ sin x = tan x [mm] \cdot{} [/mm] cos x $
folgt
[mm] $$\sin \arctan(x)=x*\cos(\arctan(x))\,.$$
[/mm]
Rate mal, was wir machen? Richtig, nach [mm] $x\,$ [/mm] differenzieren...
Bzw. ich bin zu müde, um's weiter zu rechnen. Ich hoffe, dass man so
auch zum Ziel kommt - probier's mal. Viel Spaß dabei.
(Ist jedenfalls sicherlich eine gute Übung!)
Gruß,
Marcel
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> Aus
> [mm]sin x = tan x \cdot{} cos x[/mm]
> folgt
> [mm]\sin \arctan(x)=x*\cos(\arctan(x))\,.[/mm]
Guten Tag !
Ich würde da nur dringend empfehlen, nicht beide Variablen
mit x zu bezeichnen.
Es gibt noch genügend andere Buchstaben, um sich solche
lauernden Verständnis-Fallen zu ersparen ...
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Sa 18.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Aus
> > [mm]sin x = tan x \cdot{} cos x[/mm]
> > folgt
> > [mm]\sin \arctan(x)=x*\cos(\arctan(x))\,.[/mm]
>
>
> Guten Tag !
>
> Ich würde da nur dringend empfehlen, nicht beide
> Variablen
> mit x zu bezeichnen.
didaktisch hast Du sicherlich recht. Hier sehe ich es nicht als
"tragisch": Ich hätte es als tragisch gesehen, wenn ich irgendwo
"Sei $x [mm] \in [/mm] ...$ und $y [mm] \in [/mm] ...$" geschrieben hätte.
Denn wenn ich das hier so streng sehe, dann darf ich in keinem
Text sowas schreiben wie: "Man betrachte die Funktionen [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] und
[mm] $g(x):=1/x\,.$ [/mm] "
Da sagt ja auch keiner "Aber [mm] $f\,$ [/mm] darf in [mm] $0\,$ [/mm] nicht definiert sein, weil
[mm] $0\,$ [/mm] nicht zum Definitionsbereich von [mm] $g\,$ [/mm] gehört und das das gleiche
[mm] $x\,$ [/mm] ist."
Sauber(er) müsste ich dann etwa schreiben "Betrachte die Funktionen
[mm] $f(x):=x^2$ [/mm] und [mm] $g(r):=1/r\,.$" [/mm] Und irgendwann wird das unschön, wenn
man eine Vielzahl an Variablen hat, selbst, wenn man die dann indiziert:
[mm] $f(x_1):=x_1^2$ [/mm] und [mm] $g(x_2):=1/x_2$... [/mm]
> Es gibt noch genügend andere Buchstaben, um sich solche
> lauernden Verständnis-Fallen zu ersparen ...
Nichtsdestotrotz gebe ich Dir Recht (weil eigentlich die eine Variable aus
dem Wertebereich der anderen Funktion ist und es hier da enge
Zusammenhänge gibt, die meine Notation gar nicht mehr erkennen läßt
bzw. wo meine Notation verwirrend sein kann):
Es erspart Verständnisfallen und aus didaktischem Grund wäre es
von mir vielleicht "sauberer" gewesen, hätte ich es getan.
P.S. Es ist klar, dass die Ausdrucksweise "Betrachte die Funktion [mm] $f(x):=x^2$..." [/mm]
eigentlich auch etwas unsauberes ist. Aber das ist ja eh nicht das,
was Du ansprechen wolltest. Mit ist eh klar, wie ich's "richtig"
ausschreiben könnte, und sollte, wenn ich wollte.
P.P.S.
Viel schöner wäre es vielleicht sogar gewesen, zu schreiben:
Wegen [mm] $\sin_{|\IR \setminus \{\pi/2+k*\pi: k \in \IZ\}}=\tan_{|\IR \setminus \{\pi/2+k*\pi: k \in \IZ\}}*\cos_{|\IR \setminus \{\pi/2+k*\pi: k \in \IZ\}}$ [/mm]
gilt
[mm] $$\sin \circ \arctan=\text{id}*(\cos \circ \arctan)\,.$$
[/mm]
Da ersparen wir uns gleich die Variablen.
(Es ist klar, dass wir die Funktion als Funktionen [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] betrachten.)
Nebenbei: [mm] $\sin(x)=\cos(x)*\tan(x)$ [/mm] gilt ja auch nicht für alle $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm]
sondern für alle $x [mm] \in {\IR \setminus \{\pi/2+k*\pi: k \in \IZ\}}\,.$ [/mm] Oder
wir meinen mit [mm] $\cos*\tan$ [/mm] einfach die (überall wo nötig) stetig ergänzte
Funktion.
Gruß,
Marcel
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