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Differentialquotient: Diffbarkeit/Stetigkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Sa 11.09.2010
Autor: Matts

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm]
[mm] $f(x)=\begin{cases} x*\cos(1/x), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}$ [/mm]
stetig, jedoch im Punkt [mm]x=0[/mm] nicht differenzierbar ist.

nun habe ich folgende Frage.

Bei der Stetigkeit muss ich ja folgenden Limes zeigen.

[mm] \limes_{x\rightarrow\zero} x*cos(1/x)=0 [/mm]

(xsollte gegen Null streben, zeigt es nicht an..)

reicht es da wenn ich sage, dass es Null ist da x gegen Null strebt und so cos(1/x) auch "Null" wird? beim Differentialquotient stosse ich auf das selbe Problem mit dem cos(1/x).

Ich wäre dankbar für Antworten.

Lg Matts

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.de/

ist schon eine Weile her, doch ich habe mich gerade wider an das Problem gesetzt und komme immer noch nicht nach.

        
Bezug
Differentialquotient: Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 Sa 11.09.2010
Autor: Loddar

Hallo Matts!


Forme um wie folgt:

[mm]\limes_{x\rightarrow 0}x*\cos\left(\bruch{1}{x}\right) \ = \ \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\cos\left(\bruch{1}{x}\right)}{\bruch{1}{x}}[/mm]

Ersetze nun [mm]z \ := \ \bruch{1}{x}[/mm] und lasse [mm]z_[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] laufen.


Gruß
Loddar



Bezug
        
Bezug
Differentialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:24 So 12.09.2010
Autor: fred97

Zur Stetigkeit: es ist

              $|f(x)|= |x*cos(1/x)| [mm] \le [/mm] |x|$

Jetzt x [mm] \to [/mm] 0.

Zur Differenzierbarkeit: sei [mm] $x_n:= \bruch{1}{n\pi}$. [/mm] Hat der Quotient

              [mm] \bruch{f(x_n)-f(0)}{x_n-0} [/mm]

einen Grenzwert für [mm] n\to \infty [/mm] ???

FRED

Bezug
                
Bezug
Differentialquotient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 So 12.09.2010
Autor: Matts

mit dieser Nullfolge konvergiert der Term für $ [mm] n\to \infty [/mm] $ gegen minus 1

ich kann ja noch eine Folge bilden mit: [mm] y_n:= \bruch{1}{2n\pi} [/mm]

diese Folge konvergiert gegen 1 für $ [mm] n\to \infty [/mm] $

somit ex. der LImes nicht oder ? (Folgenkriterium)

Bezug
                        
Bezug
Differentialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:44 So 12.09.2010
Autor: fred97


> mit dieser Nullfolge konvergiert der Term für [mm]n\to \infty[/mm]
> gegen minus 1

Nein. Es ist cos(n [mm] \pi)= (-1)^{n} [/mm]



>  
> ich kann ja noch eine Folge bilden mit: [mm]y_n:= \bruch{1}{2n\pi}[/mm]
>
> diese Folge konvergiert gegen 1 für [mm]n\to \infty[/mm]
>  
> somit ex. der LImes nicht oder ? (Folgenkriterium)


Ja

FRED


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