Differentialquotient < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Sa 18.12.2004 | | Autor: | nemo102 |
Hallo!
Ich gehe gerade einen Beweis durch. In diesem Beweis befindet sich ein Rechenschritt, auf den ich einfach nicht komme. Vielleicht kann mir jemand von euch weiterhelfen und mir einen hilfreichen Zwischenschritt angeben. Bin schon total am verzweifeln.
Es geht also um den Differentialqutient der hier als
[mm] \gamma\{x_1,x_2 \} [/mm] = [mm] \bruch {f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}
[/mm]
definiert ist.
Jetzt geht es hier um eine konvexe Funktion, die aus drei voneinander verschiedenen Punkten besteht. Es gilt
[mm] \bruch{\gamma(x_1,x_3) - \gamma (x_2,x_3)}{x_1-x_2} \ge [/mm] 0
Wenn man nun alles auf einen Nenner bringt, so müsste folgendes rauskommen:
[mm] \bruch{x_1(f(x_2)-f(x_3))+x_2(f(x_3)-f(x_1))+x_3(f(x_1)-f(x_2))}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)}
[/mm]
[mm] \ge [/mm] 0
Hab jetzt schon lange rumprobiert, aber irgendwie verrechne ich mich ständig. Vielleicht kann mir einer von euch weiterhelfen und mir einen Zwischenschritt aufschreiben. Brauche in ganz dringend!
Gruß Nemo
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
https://matheraum.de/read?i=32074
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Hier die gewünschten Zwischenschritte:
[mm] $\frac{\frac{f(x_1)-f(x_3)}{x_1-x_3}-\frac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3}}{x_1-x_2}$
[/mm]
[mm] $=\frac{(x_2-x_3)(f(x_1)-f(x_3))-(x_1-x_3)(f(x_2)-f(x_3))}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{x_2(f(x_1)-f(x_3))-x_1(f(x_2)-f(x_3))-x_3(f(x_1)-f(x_3))+x_3(f(x_2)-f(x_3))}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{x_1(f(x_3)-f(x_2))+x_2(f(x_1)-f(x_3))+x_3(f(x_2)-f(x_3)+f(x_3)-f(x_1))}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{x_1(f(x_3)-f(x_2))+x_2(f(x_1)-f(x_3))+x_3(f(x_2)-f(x_1))}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)}$
[/mm]
Jetzt erweitern wir mit $-1$, im Nenner wird [mm] $(x_1-x_3)$ [/mm] zu [mm] $(x_3-x_1)$ [/mm] und im Zähler vertauschen sich bei allen Summanden die $f(x)$:
[mm] $=\frac{x_1(f(x_2)-f(x_3))+x_2(f(x_3)-f(x_1))+x_3(f(x_1)-f(x_2))}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)}$
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
