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Hallo Leut's kann mir jemand sagen ob das richtig ist ?
f:y [mm] \rightarrow\ y^{2}
[/mm]
[mm] f^{-1}:x \rightarrow\ y=\wurzel{x}
[/mm]
[mm] (f^-1)'(x)=(\wurzel{x})'=dx/dy=1/dy/dx
[/mm]
[mm] =\limes_{y\rightarrow\y0} [/mm] 1/ ( (f(y)-f(y0) )/(y-y0) )
[mm] =\limes_{y\rightarrow\y0} [/mm] 1/ ( [mm] (y^2-y0^2 [/mm] )/(y-y0) )
[mm] =\limes_{y\rightarrow\y0} [/mm] 1/ ( (y-y0)(y+y0) )/(y-y0) )
= 1/2y = 1/ [mm] \wurzel{x}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Mi 12.01.2005 | | Autor: | volta |
Nach Definition hat [mm] f(x)=x^{2} [/mm] eigentlich keine Umkehrfunktion (wegen der Zweideutigkeit der reellen Wurzel, somit wird der Funktionsbegriff verletzt), aber man kann [mm] f^{-1} [/mm] intervallweise bestimmen, d.h. für [mm] D_{f}=(-\infty,0] [/mm] ist [mm] f^{-1}=-\wurzel{x} [/mm] und für [mm] D_{f}=[0,+\infty) [/mm] ist [mm] f^{-1}=\wurzel{x}.
[/mm]
Die Ableitung von [mm] \wurzel{x}=x^{1/2} [/mm] ist nach Potenzregel [mm] \bruch{1}{2}x^{-1/2}=\bruch{1}{2\wurzel{x}}.
[/mm]
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hallo
also ziel der übung war eine ableitung der wurzel(x) über den differentialquotienten.
Ist dies na dem obigen schema - mit entsprechendem definitionsbereich -korrekt ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Do 13.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi AndreHarrweg,
nur um mal diese Frage hier langsam zu schließen:
Also zu deiner Lösung hat volta ja schon geantwortet : das Problem ist die Eindeutigkeit der Umkehrfunktion...
(er/sie hat leider nur Potenzregel verwendet)
[außerdem verstehe ich deinen Ansatz nicht ganz:
f' = dy/dx , aber (f^-1)'=(f')^-1=dx/dy - dies ist aber auch eine Regel, also nicht mit DiffQuotient gelöst !!]
aber wenn es tatsächlich darum ging den DiffQuotienten von der Wurzel-Funktion zu berechnen, dann hat leduart eine sehr schöne Lösung bereits gepostet - findest du, dass diese reicht?
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Do 13.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hi
> Hallo Leut's kann mir jemand sagen ob das richtig ist ?
glaub ich nicht! diese Zeile können nur Physiker so schreiben: dx/dy=1/dy/dx da dx/dy ja nicht wirklich ein Bruch ist, also muß man die Gleichheit beweisen ( Satz über Umkehrfkt.
aber direkt geht es einfach:
( [mm] \wurzel{y}- \wurzel{y0}) [/mm] / (y -y0) = ( y-y0 )/ ( ( y-y0 )*( [mm] \wurzel{y}+ \wurzel{y0})
[/mm]
erweitert mit ( [mm] \wurzel{y}+\wurzel{y0}) [/mm] jetzt ist nach kürzen der Grenzwer y [mm] \to [/mm] y0 trivial
hilft das? leduart
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