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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Di 28.06.2005 | | Autor: | bobby |
Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe:
Geben Sie eine hinreichende Bedingung an f für die Existenz einer Lösung folgender, allgemeiner Differentialgleichung an (mit Beweis): x(0)=c
x'(t)=f(x(t)) [mm] t\in[0,\infty).
[/mm]
Ich weis zwar ungefähr wie man eine Differentialgleichung löst (aber aus der Physik), aber hier fällt mir für diesen allgemeinen Fall irgendwie gar nichts ein zur Lösung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Di 28.06.2005 | | Autor: | kuroiya |
Hallo Bobby
Diese Aufgabe steht wohl unter dem Motte "der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard und Lindelöf".
Du sollst hier keine konkrete Lösung für die Gleichung finden, sondern nur beweisen, dass unter deiner Bedingung eine Lösung existiert (und sie ist unter den gegebenen Bedingungen sogar eindeutig!).
Wie findest du also so eine Bedingung?
Ich werde erst nicht zuviel vorneweg nehmen, damit du selbst noch ein wenig nachdenken kannst, also hier nur Stichworte:
Lipschitzbedingung und Banachscher Fixpunktsatz.
Daraus erhältst du, dass es eine Lösung gibt und musst nun sehen, welche Voraussetzung(en) du benutzt hast.
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