Differentialgleichungen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Di 04.12.2007 | | Autor: | mario112 |
| Aufgabe | Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
[mm] (1+e^x)^*y*y'=e^x [/mm] |
Hallo... Wie muss ich diese Aufgabe umstellen, dass ich auf die Form y'+yx=0 komme? Oder ist dies schon der komplett falsche Ansatz zur Lösung des Problems?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
also diese DGL 1. Ordnung müsste man mit Separation der Variablen lösen können:
[mm] $(e^x+1)*y*y' [/mm] = [mm] e^x$
[/mm]
[mm] $y*\bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{e^x}{e^x+1}$
[/mm]
[mm] $\integral y\, [/mm] dy = [mm] \integral \bruch{e^x}{e^x+1}\, [/mm] dx $
[mm] $\bruch{1}{2}*y^2 [/mm] = [mm] ln|e^x+1| [/mm] + C'$
$y = [mm] \pm \wurzel{C+2*ln(e^x + 1)}$
[/mm]
und
$y' = [mm] \pm \bruch{1}{2*\wurzel{C+2*ln(e^x + 1)}}*2*\bruch{e^x}{e^x+1}$
[/mm]
Wenn man das überprüft, indem man in die DGL einsetzt:
[mm] $(e^x+1)*y*y' [/mm] = [mm] e^x$
[/mm]
[mm] $(e^x+1)*\left(\pm \wurzel{C+2*ln(e^x + 1)}\right)* \bruch{\pm 1}{\wurzel{C+2*ln(e^x + 1)}}*\bruch{e^x}{e^x+1} [/mm] = [mm] e^x$
[/mm]
dann müsste es eigentlich richtig sein.
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:54 Mi 05.12.2007 | | Autor: | mario112 |
| Aufgabe | Löse die Differentialgleichung:
y''+3y'+2y=sin2x+2cos2x |
Wie geht man hier am besten vor? Funktioniert auch die Seperation oder gibt es einen ganz anderen Ansatz für die Lösung.
Gibt es eine allgemeine Vorgehensweise?
Wäre jemand so nett mal Aufgabe durchzurechnen?
|
|
|
| |
|
> y''+3y'+2y=sin2x+2cos2x
Die allgemeine Methode wäre folgende:
1. Du bestimmst eine Lösung der homogenen DGL, sprich y''+3y'+2y = 0. Das ist einfach, denn es ist eine DGL mit konstanten Koeffizienten (hattet ihr das schon?, Es gibt zwei Lösungen; wenn nicht sage mal was ihr schon hattet)
2. Du bestimmst eine partikuläre Lösung über die Variation der Konstanten.
3. Die allgemeine Lösung ist dann die Summe aus 1. und 2.
Es gibt aber eine Reihe von Spezialfällen für diese Gleichungen also bei 'besonderem' Aussehen von dem Störglied (bei dir 'sin2x+2cos2x'), aber wie gesagt, es wäre gut zu wissen, was du schon hattest.
Grüße, Steffen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
die Lösung der homogenen linearen DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
$y''+3*y'+2*y = 0$
gewinnt man mit dem Lösungsansatz y = [mm] e^{\lambda x}. [/mm]
Einsetzen führt auf die charakeristische Gleichung
[mm] $\lambda^2 [/mm] + [mm] 3*\lambda [/mm] + 2 = 0$
mit [mm] \lambda_{1} [/mm] = -2 und [mm] \lambda_{1} [/mm] = -1.
Die allgemeine Lösung der homogenen DGL ist dann
[mm] $y_{0} [/mm] = [mm] C_{1}*e^{-2x}+C_{2}*e^{-x}$
[/mm]
Nun geht man mit einem Lösungsansatz für eine partikuläre Lösung und dessen Ableitungen in die DGL ein :
[mm] $y_{p} [/mm] = A*sin(2x) + B*cos(2x)$
[mm] $y_{p}' [/mm] = 2*A*cos(2x) - 2*B*sin(2x)$
[mm] $y_{p}'' [/mm] = -4*A*sin(2x) - 4*B*cos(2x)$
[mm]y''+3*y'+2*y = -4*A*sin(2x) - 4*B*cos(2x)+6*A*cos(2x) - 6*B*sin(2x)+2*A*sin(2x) + 2*B*cos(2x) = sin(2x) + 2cos(2x)[/mm]
Das führt aus ein LGS:
-2A - 6B = 1
6A - 2B = 2 mit A = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und B = [mm] -\bruch{1}{4}
[/mm]
Die partikuläre Lösung lautet dann
[mm] $y_{p} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*sin(2x)- \bruch{1}{4}*cos(2x)$
[/mm]
Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL ist dann die Summe aus [mm] y_{0} [/mm] und [mm] y_{p}:
[/mm]
$y = [mm] y_{0}+y_{p} [/mm] = [mm] C_{1}*e^{-2x}+C_{2}*e^{-x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}*sin(2x)- \bruch{1}{4}*cos(2x)$
[/mm]
LG, Martinius
|
|
|
|
