Differentialgleichung TdV < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Do 08.11.2012 | | Autor: | DBlank |
Hallo!
Folgende DGl soll durch TdV gelöst werden:
[mm] y^{,}(x) [/mm] = [mm] \sqrt{a^{2} -x^{2} } [/mm]
Umformung:
[mm] \frac{dy}{\sqrt{a^{2}-y^{2} } } [/mm] = dx
Integrieren:
[mm] \int_0^0 \! \frac{1}{\sqrt{a^{2}-y^{2} } } \, [/mm] dy = [mm] \int_0^0 \! \, [/mm] dx
(Falsche Schreibweise, aber ich konnte das Integralzeichen nicht ohne Definitionsbereich angeben)
Das Integral auf der linken Seite habe ich bereits in einer Voraufgabe berechnet und bin auf das Ergebnis:
[mm] \int_0^0 \! \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2} } } \, [/mm] dy = arcsin [mm] \sqrt{-a^{2} +x^{2} + 1} [/mm]
gekommen, was beim Einseitzen auch richtig erschein. Rechne ich mit dieser Lösung allerdings hier weiter, komme ich nicht weiter: Ich bekomme weder eine Gleichung, noch ist eine Variable x im Spiel. Ist mein Integral von
[mm] \int_0^0 \! \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2} } } \, [/mm] dy
falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Do 08.11.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo!
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> Folgende DGl soll durch TdV gelöst werden:
>
> [mm]y^{,}(x)= \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2} } }[/mm]
>
> Umformung:
>
> [mm]\frac{dy}{\sqrt{a^{2}-x^{2} } }[/mm] = dx
die Umformung ist falsch, außerdem sollst Du die Variablen trennen, nicht mischen 
>
> Integrieren:
>
> [mm]\int_0^0 \! \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2} } } \,[/mm] dy =
> [mm]\int_0^0 \! \,[/mm] dx
>
> (Falsche Schreibweise, aber ich konnte das Integralzeichen
> nicht ohne Definitionsbereich angeben)
>
> Das Integral auf der linken Seite habe ich bereits in einer
> Voraufgabe berechnet und bin auf das Ergebnis:
>
> [mm]\int_0^0 \! \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2} } } \,[/mm] dy = arcsin
> [mm]\sqrt{-a^{2} +x^{2} + 1}[/mm]
Die Stammfunktion der linken Seite wäre:
[mm] $\frac{y}{\sqrt{a^{2}-x^{2} } }+c$
[/mm]
>
> gekommen, was beim Einseitzen auch richtig erschein. Rechne
> ich mit dieser Lösung allerdings hier weiter, komme ich
> nicht weiter: Ich bekomme weder eine Gleichung, noch ist
> eine Variable x im Spiel. Ist mein Integral von
>
> [mm]\int_0^0 \! \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2} } } \,[/mm] dy
>
> falsch?
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Do 08.11.2012 | | Autor: | DBlank |
Sorry, habe leider in meinem Originalbeitrag in den ersten paar Zeilen y mit x vertauscht, habe es ausgebessert.
Wenn ich deine Stammfunktion:
$ [mm] \frac{y}{\sqrt{a^{2}-x^{2} } }+c [/mm] $
ableite, erhalte ich allerdings:
[mm] \frac{1*\sqrt{a^{2} -x^{2} }-0,5(a^{2}-x^{2})^{0,5}*(2a-2x)*y }{\sqrt{a^{2} -x^{2} } } [/mm]
Mit [mm] \sqrt{a^{2} -x^{2} } [/mm] durchmultipliziert:
[mm] (a^{2} -x^{2} [/mm] ) - 0,5*(2a-2x)*y
[mm] =a^{2} -x^{2}-ay-xy [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Do 08.11.2012 | | Autor: | notinX |
> Sorry, habe leider in meinem Originalbeitrag in den ersten
> paar Zeilen y mit x vertauscht, habe es ausgebessert.
Ok, jetzt handelt es sich um eine ganz andere DGL. Aber die Umformung ist immer noch falsch.
>
> Wenn ich deine Stammfunktion:
>
> [mm]\frac{y}{\sqrt{a^{2}-x^{2} } }+c[/mm]
>
> ableite, erhalte ich allerdings:
Du hast nach y integriert, wenn Du wieder nach y ableitest kommt wie zu erwarten wieder die Ursprungsfunktion heraus:
[mm] $\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2} } }$
[/mm]
>
> [mm]\frac{1*\sqrt{a^{2} -x^{2} }-0,5(a^{2}-x^{2})^{0,5}*(2a-2x)*y }{\sqrt{a^{2} -x^{2} } }[/mm]
>
> Mit [mm]\sqrt{a^{2} -x^{2} }[/mm] durchmultipliziert:
>
> [mm](a^{2} -x^{2}[/mm] ) - 0,5*(2a-2x)*y
>
> [mm]=a^{2} -x^{2}-ay-xy[/mm]
Aber warum machst Du Dir überhaupt die Mühe, die aus einer falschen Umformung und falschen Variablen entstandene Funktion nach x abzuleiten? Das hat mit der Aufgabe überhaupt nichts zu tun.
Trenne erst mal die Variablen richtig und integriere dann.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Do 08.11.2012 | | Autor: | DBlank |
Jetzt weiss ich auch warum meine Umformung falsch ist - ich habe immer noch eine falsche Funktion [mm] y^{,}(x) [/mm] angegeben.
Diesmal die RICHTIGE Funktion:
[mm] y^{,}(x) [/mm] = [mm] \sqrt{a^{2} -x^{2} } [/mm]
Stimmt jetzt die Umformung und das Integral?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Do 08.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn da wirklich steht y'(x)=f(x) dann ist das schon fast keine Dgl mehr, sondern du integrierst einfach auf beiden Seitn und hast y+c= [mm] \integral{f(x) dx}
[/mm]
ich vermute stark, dass da immer noch die falsche Dgl steht.
Bitte poste die Orginalaufgabe und kontrolliere genau, was du geschrieben hast.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Do 08.11.2012 | | Autor: | DBlank |
Hallo!
Ist zwar diesmal wirklich die richtige Funktion, aber hier zum Beweis die komplette Aufgabe:
http://s14.directupload.net/images/121108/cx6l9vml.png
Es handelt sich um Aufgabe 2 d. Mein Ansatz ging nach der Lösung, die ich für Aufgabe 2c erhalten habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Do 08.11.2012 | | Autor: | chrisno |
Da steht eine andere Differentialgleichung: [mm] $\bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \sqrt{a^2 - y(x)^2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 So 11.11.2012 | | Autor: | DBlank |
Dann forme ich also um:
[mm] \frac{dy}{dx} [/mm] = $ [mm] \sqrt{a^2 - y(x)^2} [/mm] $
Mit dx durchmultiplizieren:
dy = [mm] \sqrt{a^{2} - y(x)^{2} } [/mm] dx
Integrieren:
1 = [mm] \frac{3}{2}(a^{2}- y(x)^{2}) ^{\frac{2}{3} } [/mm] + 2y(x) + C
Auflösen nach [mm] (a^{2}- y(x)^{2}) ^{\frac{2}{3} } [/mm] :
[mm] \frac{2}{3} [/mm] - [mm] \frac{4}{3} [/mm] y(x) - [mm] \frac{2}{3} [/mm] C [mm] =(a^{2}- y(x)^{2}) ^{\frac{2}{3} } [/mm]
Allerdings komme ich jetzt nicht weiter. Wenn ich [mm] \sqrt[\frac{2}{3} [/mm] ]{x} ziehe, dann erhalte ich auf beiden Seiten y(x) mit unterschiedlichen Exponenten, die ich so ja nicht addieren kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 So 11.11.2012 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
mit y'=f(y) wie es jetzt da steht kannst du so nicht vorgehen. du musst jetzt, anders als mit y'=f(x) wirklich TdV machen.
da du ja y(x) nicht kennst, kannst du es so nicht integrieren.
Außerdem sollte man sein Ergebnis immer kontrollieren.
wenn du 1 = $ \frac{3}{2}(a^{2}- y(x)^{2}) ^{\frac{2}{3} } $ + 2y(x) + C nach x differenzierst hast du
0=(a^{2}- y(x)^{2}) ^{\frac{-1}{3} *(-2y'(x))+y'(x)
das hat wenig! mit deiner Dgl zu tun.
Also vor weiteren geposteten Lösungen die Probe machen.
wenn du vielleicht statt y öieber f(x) schreibdt ist dir klarer, dass das eine Funktion ist, die man nicht so einfach integrieren kann!
Dass wir nun schon sehr viel Zeit damit verbracht haben eine falsche Dgl zu diskutieren finde ich wenig schön! Bitte vergleiche vor dem Abschicken eines post SEHR genau mit der gestellten Aufgabe! Zwischen x und y(x) ist doch ein riesiger Unterschied!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 So 11.11.2012 | | Autor: | DBlank |
Ich verstehe nur nicht ganz, wie ich hier die Variablen trennen soll...
Ich habe ja von Anfang an nur eine Seite die von x bzw. y(x) abhängig ist, da a ja eine Konstante ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 So 11.11.2012 | | Autor: | notinX |
> Ich verstehe nur nicht ganz, wie ich hier die Variablen
> trennen soll...
>
> Ich habe ja von Anfang an nur eine Seite die von x bzw.
> y(x) abhängig ist, da a ja eine Konstante ist.
Auf welcher Seite a steht spielt keine Rolle.
Die DGL lautet:
[mm] $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\sqrt{a^2 - y^2} [/mm] $
Auf der linken Seite taucht sowohl x (in Form von [mm] $\mathrm{d}x$) [/mm] als auch y (in Form von [mm] $\mathrm{d}y$) [/mm] auf. Auf der rechten Seite kommt nur y (bzw. [mm] $y^2$) [/mm] vor. Um das nun zu trennen, multipliziere formal mit [mm] $\mathrm{d}x$ [/mm] und teile durch [mm] $\sqrt{a^2 - y^2}$
[/mm]
Dann sind die Variablen getrennt und Du kannst integrieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 So 11.11.2012 | | Autor: | DBlank |
Also dann doch:
[mm] \int \! \, \frac{1}{\sqrt{a^{2} -y(x)^{2} } } [/mm] dy = [mm] \int \! \, [/mm] dx
Aber erhalte ich dann:
[mm] 2\sqrt{a^{2} -y(x)^{2} } [/mm] = x
oder
[mm] 2\sqrt{a^{2} -y(x)^{2} } [/mm] = 1
?
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Hallo DBlank,
> Also dann doch:
>
> [mm]\int_0^0 \! \, \frac{1}{\sqrt{a^{2} -y(x)^{2} } }[/mm] dy =
> [mm]\int_0^0 \! \,[/mm] dx
>
> Aber erhalte ich dann:
>
> [mm]2\sqrt{a^{2} -y(x)^{2} }[/mm] = x
>
> oder
>
> [mm]2\sqrt{a^{2} -y(x)^{2} }[/mm] = 1
>
> ?
welchen Zeck erfüllen denn die recht eng beieinanderliegenden Integralgrenzen? 
Und hast du das Quadrat hinter dem y(x) gesehen? Es sollte einem doch bereits irgendwie klar sein, dass die Stammfunktion hier nicht ganz so einfach zu ermitteln ist.
Man könnte es leicht durch Ableiten feststellen, dass es falsch ist. Man könnte, so man hier nicht weiter weiß, einen Blick in eine Formelsammlung oder Integraltabelle werfen, der einem verrät:
[mm]\integral{\bruch{1}{\wurzel{a^2-x^2}} dx}=arcsin\left(\bruch{x}{a}\right)+c[/mm]
Das ist eine ziemlich elementare Stammfunktion, die man kennen sollte und an jeder Ecke nachschlagen kann.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 So 11.11.2012 | | Autor: | chrisno |
Ich hab Dir mal die Nullen bei den Integralzeichen entfernt. Du kannst Dir nun in Deinem Quelltext ansehen, wie es geht. Schreib einfach hinter dem int ein Leerzeichen und dann was danach kommen soll.
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