Differentialgleichung - Gebiet < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 Mi 25.02.2015 | | Autor: | Steffi91 |
| Aufgabe | geg: y' = [mm] (1+x^2)(1+y^2) [/mm] x/y
In welchem einfach zusammenhängenden Gebiet ist die Differentialgleichung exakt? |
Hallo! könnt ihr mir bei folgender Fragestellung helfen (die Aufgabe stammt aus einer alten Klausur, die ich als Vorbereitung gern verstehen und lösen möchte)?
Ich hätte gesagt, das Gebiet G muss stetig differenzierbar sein, und rot = 0, aber das trifft es wohl nicht...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Mi 25.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> geg: y' = [mm](1+x^2)(1+y^2)[/mm] x/y
>
> In welchem einfach zusammenhängenden Gebiet ist die
> Differentialgleichung exakt?
> Hallo! könnt ihr mir bei folgender Fragestellung helfen
> (die Aufgabe stammt aus einer alten Klausur, die ich als
> Vorbereitung gern verstehen und lösen möchte)?
>
> Ich hätte gesagt, das Gebiet G muss stetig differenzierbar
> sein,
Das ist doch völliger Unsinn. G ist eine Menge !!!
> und rot = 0
Das ist dahin ge-rot(zt) ! Mit rot meinst Du wahrscheinlich die Rotation, aber von was ??
> , aber das trifft es wohl nicht...
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Zu den Begriffen: sei G [mm] \subseteq \IR^2 [/mm] ein Gebiet und $p,q:G [mm] \to \IR$ [/mm] seien stetig differenzierbar.
Dann ist die DGL
(1) $p(x,y)+q(x,y)y'=0$
exakt [mm] \gdw q_x=p_y [/mm] auf G.
Nun zur DGL
(2) $y' = [mm] (1+x^2)(1+y^2) [/mm] x/y$.
Klar ist, dass für das gesuchte Gebiet gelten muss: y [mm] \ne [/mm] 0 für alle (x,y) [mm] \in [/mm] G.
Es gibt nun viele Möglichkeiten die Gl. in (2) in der Form (1) zu schreiben:
z.B.
[mm] $-(1+x^2)(1+y^2)x+yy'=0$
[/mm]
Also mit [mm] p(x,y)=-(1+x^2)(1+y^2)x [/mm] und q(x,y)=y. Dann ist die DGL aber auf keinem Gebiet exakt !
Es geht aber auch so:
[mm] $-(1+x^2)x+\bruch{y}{1+y^2}y'$
[/mm]
Also mit [mm] p(x,y)=-(1+x^2)x [/mm] und [mm] q(x,y)=\bruch{y}{1+y^2}
[/mm]
Dann ist die Gleichung aber exakt !
Hast Du die Aufgabenstellung exakt wiedergegeben ?
Wenn ja, so ist die Aufgabe völlig bescheuert !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 Mi 25.02.2015 | | Autor: | Steffi91 |
Hallo,
ja, die Frage ist exakt so formuliert worden.
Danke für deine Antwort, leicht nachvollziehbar, und ich denke mit der entsprechenden Umformung für die Exaktheit ist das auch umfassend beantwortet. Den Exaktheitstest hatte ich schon im Hinterkopf, dass es sich jedoch so unterschiedlich verhält, wusste ich nicht, Danke nochmal!
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