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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichung
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Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:14 So 03.07.2011
Autor: tarag

Aufgabe
Lösen Sie die Differentialgleichung für y(x) mit dem Anfangswert y(0)=2.

[mm] \bruch{d}{dx}y [/mm] = [mm] \bruch{xy}{1+x^2} [/mm]

Hallo,
ich habe eine Frage zu der obigen Aufgabe,
laut Musterlösung soll die Lösung folgendes sein: y(x)= [mm] 2\wurzel{1+x^2} [/mm]

Leider komme ich nicht auf diese Ergebnis.

Mein Rechenweg:
Als erstes Trennung der Variablen

[mm] \bruch{1}{y} \bruch{d}{dx}y [/mm] = [mm] \bruch{x}{1+x^2} [/mm]

[mm] \bruch{1}{y}dy [/mm] = [mm] \bruch{x}{1+x^2}dx [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{1+x^2} dx} [/mm]

[mm] ln(y)=\bruch{1}{2} ln(x^2+1)+c [/mm]    an dieser Stelle dann [mm] \bruch{1}{2}ln(x^2+1) [/mm] durch [mm] ln\wurzel{x^2+1} [/mm] ausgedrückt

[mm] ln(y)=ln\wurzel{x^2+1}+c [/mm]

[mm] y=\wurzel{x^2+1}+e^c [/mm]

mit meinem Anfangswert c bestimmen:

[mm] c=ln(y-\wurzel{x^2+1}) [/mm]

[mm] c=ln(2-\wurzel{0^2+1}) [/mm]

c=ln(1)

c=0

daher komme ich als Lösung auf: [mm] y(x)=\wurzel{x^2+1}+1 [/mm]

Wo liegt hier mein Fehler?

bei Wolfram Alpha hab ich mir das ganze auch einmal angeschaut:

[]ohne Anfangsbedingung
Wie kommt man darauf, das [mm] c_{1} [/mm] mit der Wurzel zumultiplizieren?

[]mit Anfangsbedingung

Schon einmal vielen Dank im Vorraus.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:19 So 03.07.2011
Autor: fencheltee


> Lösen Sie die Differentialgleichung für y(x) mit dem
> Anfangswert y(0)=2.
>  
> [mm]\bruch{d}{dx}y[/mm] = [mm]\bruch{xy}{1+x^2}[/mm]
>  Hallo,
>  ich habe eine Frage zu der obigen Aufgabe,
>  laut Musterlösung soll die Lösung folgendes sein: y(x)=
> [mm]2\wurzel{1+x^2}[/mm]
>
> Leider komme ich nicht auf diese Ergebnis.
>  
> Mein Rechenweg:
>  Als erstes Trennung der Variablen
>  
> [mm]\bruch{1}{y} \bruch{d}{dx}y[/mm] = [mm]\bruch{x}{1+x^2}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{y}dy[/mm] = [mm]\bruch{x}{1+x^2}dx[/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{1+x^2} dx}[/mm]
>  
> [mm]ln(y)=\bruch{1}{2} ln(x^2+1)+c[/mm]    an dieser Stelle dann

hallo,
wenn auf beiden seiten der logarithmus steht, ist es meist zweckmässig die integrationskonstante direkt als ln(c) anzugeben, aber da liegt nicht der fehler
> [mm]\bruch{1}{2}ln(x^2+1)[/mm] durch [mm]ln\wurzel{x^2+1}[/mm] ausgedrückt
>  
> [mm]ln(y)=ln\wurzel{x^2+1}+c[/mm]
>  
> [mm]y=\wurzel{x^2+1}+e^c[/mm]

hier müsste nach den potenzgesetzen [mm] *e^c [/mm] stehen, denn [mm] e^{a+b}=e^a*e^b [/mm] und nicht wie bei dir [mm] e^a+b [/mm]

>  
> mit meinem Anfangswert c bestimmen:
>  
> [mm]c=ln(y-\wurzel{x^2+1})[/mm]
>  
> [mm]c=ln(2-\wurzel{0^2+1})[/mm]
>  
> c=ln(1)
>  
> c=0
>  
> daher komme ich als Lösung auf: [mm]y(x)=\wurzel{x^2+1}+1[/mm]
>  
> Wo liegt hier mein Fehler?
>  
> bei Wolfram Alpha hab ich mir das ganze auch einmal
> angeschaut:
>  
> []ohne Anfangsbedingung
>  
> Wie kommt man darauf, das [mm]c_{1}[/mm] mit der Wurzel
> zumultiplizieren?
>  
> []mit Anfangsbedingung
>  
> Schon einmal vielen Dank im Vorraus.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

gruß tee
Bezug
                
Bezug
Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:29 So 03.07.2011
Autor: tarag

das heißt ich erhalte [mm] e^c=2 [/mm]

und komme damit auf meine richtige Lösung und muss c selber nicht mehr bestimmen,
sehe ich das so richtig?
Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:35 So 03.07.2011
Autor: schachuzipus

Hallo tarag und erstmal ganz herzlich [willkommenmr],


> das heißt ich erhalte [mm]e^c=2[/mm] [ok]

Ja, wenn du die Konstante [mm]e^c[/mm] nicht umbenennst in etwa [mm]C_1[/mm]

>  
> und komme damit auf meine richtige Lösung und muss c
> selber nicht mehr bestimmen,

Naja, [mm]c=\ln(2)[/mm] folgt doch direkt, aber du gibst es ja in der Version [mm]e^c[/mm] an und [mm]e^{\ln(2)}=2[/mm]

>  sehe ich das so richtig?

So 100% bin ich da nicht sicher, üblicherweise benennt man solcher Konstanten wie [mm]e^c[/mm] um.

Man hätte dann als allg. Lsg. [mm]y=e^c\cdot{}\sqrt{1+x^2}=C_1\cdot{}\sqrt{1+x^2}[/mm] und kommt mit der AB [mm]y(0)=2[/mm] auf [mm]C_1=2[/mm]

Wie dem auch sei, die Konstante vor der Wurzel muss eine 2 sein ;-)

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:39 So 03.07.2011
Autor: tarag

Damit ist meine Frage beantwortet.
Danke an euch beide.

Bezug
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