Differentialgleichung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Hallo,
ich möchte folgende Differentialgleichung lösen, komme aber mit der Variablentrennung nicht weiter.
[mm] m\bruch{d^{2}r}{dt^2} +6\pi*R\eta\bruch{dr}{dt}=mg
[/mm]
Ich weiß, dass es Wege über die e-Funktion gibt, z.B. [mm] r(t)=e^{\lambda*t}. [/mm] Aber wie gehe ich da vor?
LordPippin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Sa 06.11.2010 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo,
> ich möchte folgende Differentialgleichung lösen, komme
> aber mit der Variablentrennung nicht weiter.
>
> [mm]m\bruch{d^{2}r}{dt^2} +6\pi*R\eta\bruch{dr}{dt}=mg[/mm]
das ist eine lineare, inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung.
>
> Ich weiß, dass es Wege über die e-Funktion gibt, z.B.
> [mm]r(t)=e^{\lambda*t}.[/mm] Aber wie gehe ich da vor?
>
> LordPippin
Ja genau. Du musst zuerst eine allgemeine Lösung der homogenen Gleichung finden und eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung. Die Summe dieser beiden Lösungen ist dann die endgültige Lösung der DGL.
Setze dazu zuerst die Funktion:
[mm] $r_{hom}(t)=e^{\lambda\cdot{}t}$
[/mm]
in die homogene DGL ein. Daraus kannst Du [mm] $\lambda$ [/mm] bestimmen.
Wenn Du das hast, kannst Du Dich um die spezielle Lösung kümmern. Da die rechte Seite der Gleichung eine Konstante ist würde ich es mit dieser Funktion versuchen:
[mm] $r_{inhom}=k\cdot [/mm] t$
Setz diese auch ind die DGL ein und bestimme k.
Gruß,
notinX
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Hallo notinX,
Als Lösung für [mm] \lambda [/mm] kriege ich [mm] \lambda=-\bruch{6\pi*\eta*R}{m} [/mm] raus.
Und wenn ich [mm] r_{inhom}=kt [/mm] einsetze, bekomme ich:
[mm] m*0+6\pi*R\eta*k=mg [/mm] => [mm] k=\bruch{mg}{6\pi*R\eta}
[/mm]
Muss ich nicht auch noch eine Integrationskonstante bestimmen?
Meine Idee war:
[mm] r(t)=Ce^{\lambda*t} [/mm] => [mm] \dot{r}(t)=C\lambda*e^{\lambda*t} [/mm] => [mm] \dot{\dot{r}}(t)=C\lambda^{2}*e^{\lambda*t}, [/mm] das in die Ausgangsgleichung einsetzen und zum Zeitpunkt t=0 nach C auflösen. Aber dann kriege ich C=0 raus.
Gruß LordPippin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 So 07.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du brauchst für ne Dgl 2 ter Ordnung 2 Anfangsbed. r(0) und r'(0), deshalb müssen in der Lösung auch immer 2 Konstanten vorkommen.
bei der Lösung für /lambda hast du /lambda =0 vergessen,
allg. Lösung der hom.
[mm] r=C_1*e^{-/lamba_1*t}+C_2
[/mm]
dazu deine richtige Lösung der inh.
Nebenbei: du hättest auch mit r'=v direkt me Dgl 1. Grades gehabt, da die homogene mit Trennung der Variablen, die inhomogene mit v=k lösen können.
Gruss leduart
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Hallo,
irgendwie komme ich gerade nicht weiter.
[mm] r(t)=C_{1}*e^{\lambda*t}+C_{2}
[/mm]
[mm] \dot{r}(t)=C_{1}\lambda*e^{\lambda*t}
[/mm]
[mm] \dot{\dot{r}}(t)=C_{1}\lambda^{2}*e^{\lambda*t}
[/mm]
Ich habe den Exponenten positiv gelassen, da mein [mm] \lambda [/mm] ja das negative Vorzeichen hat.
Dann wäre [mm] r(0)=C_{1}+C_{2}, \dot{r}(0)=C_{1}\lambda [/mm] und [mm] \dot{\dot{r}}(0)=C_{1}\lambda^{2}
[/mm]
Muss ich das jetzt in meine Ausgangsgleichung einsetzen?
Dann kriege ich:
[mm] m\bruch{d^{2}r}{dt^{2}}+6\pi*R*\eta*\bruch{dr}{dt}=mg
[/mm]
[mm] mC_{1}\lambda^{2}+6\pi*R*\eta*C_{1}\lambda=mg
[/mm]
umstellen nach [mm] C_{1} [/mm] und einsetzen für [mm] \lambda [/mm] bringt:
[mm] C_{1}=0
[/mm]
Was mache ich da falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 So 07.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Anfangsbed. gelten natürlich nur für die Lösung der gesamten inh. Dgl!
Du hast phsikalisch richtig raus: wenn die einzige wirkende Kraft eine Reibungskraft ist, also mr''=-ar' und du v'(0)=0 hast, bleibt dein Objekt natürlich am Ausgangspkt! (ohne mg kein Regen!!)
du machst doch offensichtlich Physik, da ist es viel leichter Fehler zu merken, weil das ja nicht einfach Dgl. sind, sondern sie sagen was: hier es wirkt die Gewichtskraft und eine der Geschw. proportionale Reibungskraft.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 So 07.11.2010 | | Autor: | LordPippin |
Hallo leduart,
vielen Dank für deine Hilfe. Habe es jetzt doch mit der DGL 1.Grades gemacht.
Als Lösung habe ich: [mm] v(t)=\bruch{mg}{6\pi*R\eta}(1-e^{-\bruch{6\pi*R\eta}{m}t}) [/mm] => [mm] r(t)=\bruch{mg}{6\pi*R\eta}t+\bruch{m^2}{6^{2}\pi^{2}*R^{2}\eta^{2}}g*e^{-\bruch{6\pi*R\eta}{m}t}
[/mm]
Schaue mir das andere mal an, wenn ich mehr Zeit habe...
Gruß
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