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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Fr 15.04.2005 | | Autor: | mat84 |
Hi!
Wir haben an der Uni folgende Aufgabe gestellt bekommen:
Ein überall gleich breiter Fluss verlaufe geradlinig in eine Richtung. Die
Geschwindigkeit, mit der der Fluss strömt, sei konstant. An der Stelle
[mm] x = 0 [/mm] wird kontinuierlich ein Fremdstoff eingeleitet, der sich
an der Einleitstelle völlig mit dem Wasser vermischt und dort eine
(zeitunabhängige) Konzentration [mm] c_0 [/mm] bewirkt.
Der Fremdstoff wird mit der Rate k bestandsproportional abgebaut. Nach verstreichen einer genügend langen Zeit nach Beginn der Einleitung stellt sich ein stationärer Verlauf der Fremdstoffkonzentration ein, die über dem Flussquerschnitt als konstant angenommen wird.
Ermitteln Sie eine Differentialgleichung zur Bestimmung der Konzentration in Abhängigkeit des Ortes x.
So, und genau das ist das Problem. Aus der Vorlesung kenn ich nur Lösungsverfahren für DGLen, aber wir haben nie welche aufgestellt, mir fehlt also völlig der Ansatz. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Gut, der Anfangswert ist [mm] c(0) = c_0 [/mm] ( c(x) sei die Funktion für die Fremdstoffkonzentration). Die Änderungsrate der Konzentration dürfte wohl die Ableitung [mm] c'(x) [/mm] sein. Aber mir fehlt jetzt der Zusammenhang zwischen Ableitung und Ausgangsfunktion, wie er ja in einer DGL erster Ordnung besteht.
Wär toll, wenn mir da jemand nen Ansatz liefern könnte. Am besten möglichst einfach gehalten, ich studier ja Bio und kein Mathe. 
Vielen Dank schonmal
mat84
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hi!
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> Wir haben an der Uni folgende Aufgabe gestellt bekommen:
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> Ein überall gleich breiter Fluss verlaufe geradlinig in
> eine Richtung. Die
> Geschwindigkeit, mit der der Fluss strömt, sei konstant.
> An der Stelle
> [mm]x = 0[/mm] wird kontinuierlich ein Fremdstoff eingeleitet, der
> sich
> an der Einleitstelle völlig mit dem Wasser vermischt und
> dort eine
> (zeitunabhängige) Konzentration [mm]c_0[/mm] bewirkt.
> Der Fremdstoff wird mit der Rate k bestandsproportional
> abgebaut. Nach verstreichen einer genügend langen Zeit nach
> Beginn der Einleitung stellt sich ein stationärer Verlauf
> der Fremdstoffkonzentration ein, die über dem
> Flussquerschnitt als konstant angenommen wird.
> Ermitteln Sie eine Differentialgleichung zur Bestimmung
> der Konzentration in Abhängigkeit des Ortes x.
>
> So, und genau das ist das Problem. Aus der Vorlesung kenn
> ich nur Lösungsverfahren für DGLen, aber wir haben nie
> welche aufgestellt, mir fehlt also völlig der Ansatz.
>
>
> Gut, der Anfangswert ist [mm]c(0) = c_0[/mm] ( c(x) sei die Funktion
> für die Fremdstoffkonzentration). Die Änderungsrate der
> Konzentration dürfte wohl die Ableitung [mm]c'(x)[/mm] sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber mir fehlt jetzt der Zusammenhang zwischen Ableitung und
> Ausgangsfunktion, wie er ja in einer DGL erster Ordnung
> besteht.
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"Der Fremdstoff wird mit der Rate k bestandsproportional abgebaut."
Abbau heißt, dass die Konzentration fällt, also muss [mm] $c'(x)=-\mbox{irgendwasnichtnegatives}$ [/mm] sein. "Bestandsproportional" und "Rate k" sagen uns auch was dieses Nichtnegative ist: Die Konzentration (der Bestand) ist naturgemäß nicht negativ und der Proportionalitätsfaktor ist mit k auch gegeben. Also lautet das Anfangswertproblem:
$c'(x)=-k*c(x),\ [mm] c(0)=c_0$
[/mm]
> Wär toll, wenn mir da jemand nen Ansatz liefern könnte. Am
> besten möglichst einfach gehalten, ich studier ja Bio und
> kein Mathe.
>
> Vielen Dank schonmal
> mat84
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Hoffentlich konnte ich helfen, ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Sa 16.04.2005 | | Autor: | mat84 |
Hi!
Ja danke, hast mir sehr geholfen... ist ja im Endeffekt auch nicht schwer,
aber wenn man's noch nie gemacht hat, haperts halt schnell mal.
Gruß
mat84
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:15 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo,
wenn ich das richtig sehe geht man ja davon aus, dass sich der Stoff nur in der Breite gleichmässig (durch Diffusion) ausbreitet. Längs des Flusses ist sozusagen nur die Konzentration vorhanden, die übrig ist nach der Zeit, die das Wasser von der Einlaßstelle bis zum Ort gebraucht hat, d.h. die Zeitabhängigkiet der Lösung wird zu einer Ortsabhängigkeit, weil das Wasser um die Stelle $x$ zu erreichen immer die Zeit [mm] $t=\frac{x}{v}$ [/mm] (v Strömungsgeschwindigkeit benötigt.
Gruß Max
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