Differentialgleichung < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Woltan |
Hey Leute,
ich hab mal wieder ein Problem mit einer ekligen Differentialgleichung. Vielleicht weiß einer von euch ja wie man sie löst, da ich aus dem bronstein auch nit schlau geworden bin:
[mm] $\ddot{y}+\alpha \dot{y}^2 [/mm] = [mm] \beta$
[/mm]
Wie nennt man so eine Differentialgleichung?
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Greetz Woltan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Woltan,
Ich nehme mal an [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] sind Konstanten dann kannst du:
1. [mm]u(t)=\dot{y}[/mm] substituieren
2. Dgl mit Trennung der Variablen (steht wahrscheinlich auch im Bronstein) lösen
3. zurück substituieren und noch einmal integrieren
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Woltan |
Hallo mathemaduenn,
die substitution ist ja kein problem. allerdings hab ich ein problem die differentialgleichung anschließend mit trennung der variablen zu lösen. Das einzige problem hierbei ist das $y'^2$ bzw. das [mm] $u^2$. [/mm] Wenn ich jetzt nach trennung der Variablen vorgehe würde das bei mir so aussehen:
[mm] $\ddot [/mm] y + [mm] \alpha \dot y^2 [/mm] = [mm] \beta [/mm] $
mit [mm] $\bruch{dy}{dt} [/mm] = u(t)$
[mm] $\bruch{du}{dt} [/mm] + [mm] \alpha u^2 [/mm] = [mm] \beta$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] du + [mm] \alpha u^2 [/mm] dt = [mm] \beta [/mm] dt$
[mm] $\gdw \integral{du} [/mm] + [mm] \alpha \integral{u^2 dt} [/mm] = [mm] \integral{\beta dt}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] u(t) + [mm] \bruch{\alpha}{3} u^3 [/mm] = [mm] \beta [/mm] t + [mm] C_{1}$
[/mm]
rücksubstitution:
[mm] $\bruch{dy}{dt} [/mm] + [mm] \bruch{\alpha}{3} \left(\bruch{dy}{dt}\right)^3 [/mm] = [mm] \beta [/mm] t + [mm] C_{1}$
[/mm]
erneute integration
[mm] $\gdw [/mm] y + [mm] \bruch{\alpha}{12} y^4 [/mm] = [mm] \beta t^2 [/mm] + [mm] C_{1} [/mm] t + [mm] C_{2}$
[/mm]
irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass das richtig ist. anbei sei noch bemerkt dass die konstanten [mm] $C_{1} [/mm] = 0$ und [mm] $C_{2} [/mm] = 0$ sind.
Ich hoffe du kannst mir nochmal weiter helfen.
vielen dank schonmal soweit
mfg Woltan
|
|
|
| |
|
Hallo Woltan,
> [mm]\ddot y + \alpha \dot y^2 = \beta[/mm]
> mit [mm]\bruch{dy}{dt} = u(t)[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dt} + \alpha u^2 = \beta[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\gdw du + \alpha u^2 dt = \beta dt[/mm]
> [mm]\gdw \integral{du} + \alpha \integral{u^2 dt} = \integral{\beta dt}[/mm]
>
> [mm]\gdw u(t) + \bruch{\alpha}{3} u^3 = \beta t + C_{1}[/mm]
Hier ist ein Fehler drin. [mm] \integral{u^2 dt} [/mm] kann man nicht so einfach bestimmen weil bezüglich t integriert werden muß.
> rücksubstitution:
> [mm]\bruch{dy}{dt} + \bruch{\alpha}{3} \left(\bruch{dy}{dt}\right)^3 = \beta t + C_{1}[/mm]
Bevor du rücksubstituierst solltest Du die Gleichung nach u auflösen weil im nächsten Schritt wieder bezgl. t integriert werden muß.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 So 28.11.2004 | | Autor: | Woltan |
Hey ho,
leider komm ich selbst mit dieser Hilfe nicht weiter. Ich hab mitlerweile rausgefunden, dass diese Differentialgleichung eine Riccati DGL ist. Mehr nicht. Leider muss ich diese DGL bis Dienstag lösen können und bitte daher noch einmal um eure Hilfe!
MFG Woltan
|
|
|
| |
|
Hallo Woltan,
[mm] u' + \alpha *u^2 = \beta[/mm]
Dies ist eine Ricatti DGL aber eine recht einfache die man ohne besonderen Rechentrick lösen kann.
Trennung der Variablen:
[mm]u' =\beta - \alpha u^2[/mm]
[mm]\left[ \bruch{1}{\beta - \alpha u^2} \right] u' =1[/mm]
[mm]\integral \left[ \bruch{1}{\beta - \alpha u^2} \right] du =\integral 1 dx[/mm]
[mm] \bruch{arctanh \left( \wurzel{\bruch{\beta}{\alpha}}u \right) }{\wurzel{\alpha \beta}}=x+C[/mm]
Jetzt müsstest Du noch nach u umstellen dann für u wieder y' einsetzen und nochmals integrieren.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
Hallo Woltan,
> nur leider ist die lösung die ich da raus hab überhaupt
> nicht in einklang mit der bewegung die sie darstellen soll.
Das ist nat. weniger schön.
> da die lösung etwas von
> ... ln(tan(x) - 1) ... hat und für den ort 0 hätte ich
> schon gern dass da 0 rauskommt 
Beim integrieren(2mal) entstehen 2 Konstanten und eine davon kannst Du so festlegen das am Ort 0 auch 0 rauskommt.
gruß
mathemaduenn
|
|
|
|
