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Hi Leute,
bräuchte mal wieder die Hilfe von ein paar weisen Mathecracks 
Bestimmen sie eine stetige Funktion f: [mm] \IR \mapsto \IR
[/mm]
f(x) + [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \bruch{2}{4} x^{2}
[/mm]
für alle x [mm] \in \IR [/mm] erfüllt.
Mein Ansatz:
obige Gleichung lässt sich auch wie folgt schreiben.
f(x) + F(x) = [mm] \bruch{1}{2} x^{2}
[/mm]
oder
f'(x) + f(x) = x
[mm] \Rightarrow [/mm] y' + y = x
gesucht ist nun y.
homogene Lösung: y' + y = 0
LFS: x [mm] \mapsto \alpha e^{-x}
[/mm]
so weit ist die ganze Geschichte noch einleuchtend.
y(x) = a(x) * [mm] e^{-x} [/mm] Warum wird hier mit a(x) multipliziert? Falls a dem [mm] \alpha [/mm] entspricht, warum ist dies von x abhängig?
y'(x) = a'(x) * [mm] e^{-x} [/mm] - a(x) * [mm] e^{-x}
[/mm]
y'(x) + y(x) = a'(x) * [mm] e^{-x} [/mm] = x
a'(x) = x * [mm] e^{x}
[/mm]
a(x) = x * [mm] e^{x} [/mm] - [mm] e^{x} [/mm] + c
Ist das Vorzeichen von c eigentlich frei wählbar?
(c = Integrationskonstante)
allgemeine Lösung:
y(x) = x - 1 + c * [mm] e^{-x}
[/mm]
Anfangsbedingung aus Integralbedingung: f(0) = 0
Wo ist die Anfangsbedingung f(0) = 0? In der Angabe steht nichts davon.
Schon mal danke für die Beantwortung meiner Fragen.
Gruß
Prof.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Mi 15.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Professor!
> y(x) = a(x) * [mm]e^{-x}[/mm] Warum wird hier mit a(x)
> multipliziert? Falls a dem [mm]\alpha[/mm] entspricht, warum ist
> dies von x abhängig?
Dies ist nun das Verfahren "Variation der Konstanten", um nun auch die partikuläre Lösung für das inhomogene System zu lösen.
> a(x) = x * [mm]e^{x}[/mm] - [mm]e^{x}[/mm] + c
>
> Ist das Vorzeichen von c eigentlich frei wählbar?
Ja, ist zwar nicht ganz gewöhnlich ... macht aber keinen Unterschied.
> Anfangsbedingung aus Integralbedingung: f(0) = 0
>
> Wo ist die Anfangsbedingung f(0) = 0? In der Angabe steht
> nichts davon.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es muss heißen:
[mm] $\red{F}(0) [/mm] \ = \ 0$ oder $y(0) \ = \ 0$
Diese Anfangsbedingung folgt aus der Aufgabenstellung / Definition durch die Integralschreibweise.
Allgemein gilt: [mm] $\integral_a^a{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ F(a)-F(a) \ = \ 0$
Also auch hier mit $F(x) \ := \ [mm] \integral_0^x{f(t) \ dt}$
[/mm]
$F(0) \ = \ [mm] \integral_0^0{f(t) \ dt} [/mm] \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:25 Do 16.03.2006 | | Autor: | Professor |
Hi Loddar,
da bleibt mir nur noch eins zu sagen:
Verdammt bist du gut!!! 
Gruß
Prof.
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