Differentialgleichun/Reibung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Do 17.11.2011 | | Autor: | doom0852 |
| Aufgabe | Man mache für allgemeine geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft in einer Dimension den Ansatz:
[mm] F_R [/mm] = [mm] -pv^n [/mm] , n [mm] \ge
[/mm]
a) SChreiben sie die X´=v in eine Differentialgl. erster Ordnung um und trennen sie nach den Var. v und t.
b) Durch Integration der Gleichung für n ungleich 1 erhält man v=v(t). Berechnen Sie v(t) und analysieren Sie den qualitativen Unterschied von v(t) in den beiden Fällen [mm] 0\le [/mm] n <1 und n>1 für t--> [mm] \infty [/mm] |
Hallo,
Bei a) und b) habe ich bereits eine Lösung bitte jedoch um evtl Korrektur da ich mir auch unsicher bin:
zu a) ma= [mm] -pv^n
[/mm]
m dv/dt = [mm] -pv^n
[/mm]
[mm] dv/v^n [/mm] = -pdt/m
dv/ x´^n = -pdt/m
zu b)
[mm] \integral_{v=0}^{v}{1/v^n dv} [/mm] =-p/m * [mm] \integral_{t=0}^{t}{1 dt} [/mm]
1/(-n+1)v^(-n+1) = -pt/m
v^(-n+1) = -p/m (-n+1) *t
v(t) = [mm] \wurzel[-n+1]{-p/m *(-n+1)t}
[/mm]
FÜr 1. Fall gilt: (-n+1) wird positiv--> unter der wurzel negativ --> nur komplex lösbar
2. fall v(t) lösbar, da unter der wurzel das VZ positiv ist.
wie gehe ich bei der c) nun vor und ich bitte um Bestätigung der 2 genannten Fälle für n , da ich mir hier besonders unsicher bin...Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Do 17.11.2011 | | Autor: | doom0852 |
| Aufgabe | | c) BEstimmen Sie aus der Bewegungsgleich x= x(v) für n= ungleich2 und diskutieren sie wieder das Berhalten der beiden Fälle 0 [mm] \le [/mm] 2 <2 und n>2 für v-->0 |
Sry das c) hatte ich vergessen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:14 Fr 18.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> c) BEstimmen Sie aus der Bewegungsgleich x= x(v) für n=
> ungleich2 und diskutieren sie wieder das Berhalten der
> beiden Fälle 0 [mm]\le[/mm] 2 <2 und n>2 für v-->0
> Sry das c) hatte ich vergessen.
So versteht keiner die Frage. Schreib sie ordentlich auf, dann können wir dir auch helfen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Do 17.11.2011 | | Autor: | doom0852 |
Bitte Leutz helft mir ^^. Ich krieg jedes mal Donnerstagabend Albträume von Theophysik. Aber ich schaffs leider nie eher die Aufgaben zu bearbeiten. Selbst wenn ich wollte..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:13 Fr 18.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man mache für allgemeine geschwindigkeitsabhängige
> Reibungskraft in einer Dimension den Ansatz:
>
> [mm]F_R[/mm] = [mm]-pv^n[/mm] , n [mm]\ge[/mm]
>
> a) SChreiben sie die X´=v in eine Differentialgl. erster
> Ordnung um und trennen sie nach den Var. v und t.
> b) Durch Integration der Gleichung für n ungleich 1
> erhält man v=v(t). Berechnen Sie v(t) und analysieren Sie
> den qualitativen Unterschied von v(t) in den beiden Fällen
> [mm]0\le n <1[/mm] und n>1 für [mm]t--> \infty[/mm]
> Hallo,
>
> Bei a) und b) habe ich bereits eine Lösung bitte jedoch um
> evtl Korrektur da ich mir auch unsicher bin:
>
> zu a) ma= [mm]-pv^n[/mm]
> m dv/dt = [mm]-pv^n[/mm]
> [mm]dv/v^n[/mm] = -pdt/m
> dv/ x´^n = -pdt/m
>
> zu b)
>
> [mm]\integral_{v=0}^{v}{1/v^n dv}[/mm] =-p/m * [mm]\integral_{t=0}^{t}{1 dt}[/mm]
Das kannst du so nicht machen. Erst einmal kannst du durch [mm] $v^n$ [/mm] nur für $v>0$ teilen.
Bei $v=0$ bleibt die Bewegung sowieso stehen, weil sowohl v als auch [mm] $\dot [/mm] v = [mm] -\bruch{p}{m} v^n$ [/mm] Null sind.
Außerdem ist für [mm] $n\ge [/mm] 1$ das Integral auf der linken Seite an der unteren Grenze divergent.
Also:
[mm]\integral_{v_0}^{v}{1/v^n dv}[/mm] =-p/m * [mm]\integral_{0}^{t}{1 dt}[/mm] .
Bei $v=0$ bleibt die Bewegung sowieso stehen, weil sowohl v als auch [mm] $\dot [/mm] v = [mm] -\bruch{p}{m} v^n$ [/mm] Null sind.
>
> 1/(-n+1)v^(-n+1) = -pt/m
> v^(-n+1) = -p/m (-n+1) *t
> v(t) = [mm]\wurzel[-n+1]{-p/m *(-n+1)t}[/mm]
>
> FÜr 1. Fall gilt: (-n+1) wird positiv--> unter der wurzel
> negativ --> nur komplex lösbar
Falsch. Was sagt dir deine Anschauung? Hat das Problem für $n<1$ eine Lösung?
Für $n<1$ ist das keine Wurzel. Z.B. $n=1/2$:
[mm] v^{1/2} -v_0^{1/2} = - \bruch{p}{2m} t [/mm],
oder
[mm] v(t) = \left(v_0^{1/2} - \bruch{p}{2m} t \right)^2 [/mm]
Allgemein:
[mm] v(t)^{1-n} - v_0^{1-n} = (n-1) \bruch{p}{2m} t [/mm],
oder
[mm] v(t) = \left(v_0^{1-n} - \bruch{p}{2m} t \right)^{1/(1-n)}[/mm]
Für [mm] $0\le [/mm] n<1$ ist der Exponent $1/(1-n) > 1$.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Mo 12.12.2011 | | Autor: | doom0852 |
>
> oder
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> [mm]Eingabefehler: [mm] "\left" und "\right" [/mm] müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
So kann das auch keiner lesen. Sorry.
Trotzdem Danke.
Gruß
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