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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:06 Mo 09.11.2009 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | Löse folgende Differentialgleichung:
[mm] x(y^2 [/mm] - 1) - [mm] y(x^2 [/mm] - 1) y' = 0, y(0) = 2 |
Hallo!
ich löse die Aufgabe also einfach mittels der Methode der Trennung von Variablen.
Also:
[mm] x(y^2-1)-y(x^2-1)y' [/mm] = 0
[mm] y(x^2 [/mm] - 1)y' = [mm] x(y^2 [/mm] - 1)
y' = [mm] \bruch{x(y^2 - 1}{y(x^2 - 1)}
[/mm]
[mm] \bruch{y * dy}{(y^2 - 1)} [/mm] = [mm] \bruch{x * dx}{(x^2 - 1)}
[/mm]
Dann unbestimmte intergration
[mm] \integral_{-}^{-}{\bruch{y * dy}{(y^2 - 1)}} [/mm] = [mm] \integral_{-}^{-}{\bruch{x * dx}{(x^2 - 1)}}
[/mm]
Spezialfall der logarithmischen Substitution...
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln | [mm] y^2 [/mm] - 1| = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln | [mm] x^2 [/mm] - 1| + C
ln | [mm] y^2 [/mm] - 1| = ln | [mm] x^2 [/mm] - 1| + 2*C
e^(ln | [mm] y^2 [/mm] - 1|) = e^(ln | [mm] x^2 [/mm] - 1| + 2*C)
[mm] |y^2 [/mm] - 1| = [mm] |x^2 [/mm] - 1| * e^(2 * C)
und genau hier bleibe ich hängen. den betrag würde ich durch quadrieren herausbekommen aber ich weiß nicht ob das der richtige weg ist.
vielen dank für jede hilfe.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Mo 09.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Wegen y(0) = 2, kannst Du |x|<1 und y > 1 annehmen
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Mo 09.11.2009 | | Autor: | babapapa |
hallo
danke für die rasche antwort!
hmmmm leider nicht - kann mit dem hinweis leider nichts anfangen :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mo 09.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Ist y>1, so ist [mm] y^2>1 [/mm] und somit [mm] |y^2-1|= y^2-1
[/mm]
Ist |x|<1, so ist [mm] x^2<1, [/mm] und somit [mm] |x^2-1|= 1-x^2
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Mo 09.11.2009 | | Autor: | babapapa |
Oh okay, so war das gemeint - dankeschön
nun würde ja folgend weitergemacht:
[mm] y^2 [/mm] - 1 = [mm] (1-x^2) [/mm] * [mm] e^{2C}
[/mm]
[mm] y^2 [/mm] = [mm] (1-x^2) [/mm] * [mm] e^{2C} [/mm] + 1
y = [mm] \pm \wurzel{(1-x^2) * e^{2C} + 1}
[/mm]
Wenn ich nun die Anfangsbedinung y(0) = 2 anwende - also x = 0 setze
und K := [mm] e^{2C}, [/mm] mit K [mm] \in \IR
[/mm]
y = [mm] \pm \wurzel{(1-0^2) * K + 1}
[/mm]
y = [mm] \pm \wurzel{(1) * K + 1}
[/mm]
wobei hier aber niemals 2 herauskommt? was mache ich hier falsch ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Mo 09.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Oh okay, so war das gemeint - dankeschön
>
> nun würde ja folgend weitergemacht:
>
> [mm]y^2[/mm] - 1 = [mm](1-x^2)[/mm] * [mm]e^{2C}[/mm]
> [mm]y^2[/mm] = [mm](1-x^2)[/mm] * [mm]e^{2C}[/mm] + 1
> y = [mm]\pm \wurzel{(1-x^2) * e^{2C} + 1}[/mm]
Wegen y(0) = 2 > 0 ist Deine Lösung positiv, also
y = [mm] \wurzel{(1-x^2) * e^{2C} + 1}[/mm]
2 = y(0) = [mm] \wurzel{e^{2C} + 1}[/mm], also 4 = [mm] e^{2C} [/mm] + 1
Jetzt Du !
FRED
>
> Wenn ich nun die Anfangsbedinung y(0) = 2 anwende - also x
> = 0 setze
> und K := [mm]e^{2C},[/mm] mit K [mm]\in \IR[/mm]
> y = [mm]\pm \wurzel{(1-0^2) * K + 1}[/mm]
>
> y = [mm]\pm \wurzel{(1) * K + 1}[/mm]
>
> wobei hier aber niemals 2 herauskommt? was mache ich hier
> falsch ?
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> Oh okay, so war das gemeint - dankeschön
>
> nun würde ja folgend weitergemacht:
>
> [mm]y^2[/mm] - 1 = [mm](1-x^2)[/mm] * [mm]e^{2C}[/mm]
> [mm]y^2[/mm] = [mm](1-x^2)[/mm] * [mm]e^{2C}[/mm] + 1
> y = [mm]\pm \wurzel{(1-x^2) * e^{2C} + 1}[/mm]
>
> Wenn ich nun die Anfangsbedinung y(0) = 2 anwende -
> also x = 0 setze und K := [mm]e^{2C},[/mm] mit K [mm]\in \IR[/mm]
> y = [mm]\pm \wurzel{(1-0^2) * K + 1}[/mm]
>
> y = [mm]\pm \wurzel{(1) * K + 1}[/mm]
>
> wobei hier aber niemals 2 herauskommt?
> was mache ich hier falsch ?
hallo babapapa,
Falsch ist, dass du y=2 gar nicht einsetzt und
hier irgendwie plötzlich annimmst, du
könntest x für die Lösungsfunktion überhaupt
ein für allemal gleich Null setzen: das ist
natürlich Unsinn. Du brauchst das Wertepaar
(x=0,y=2) nur, um die Konstante K zu berechnen.
Sobald du den Zahlenwert von K hast, setzt du
ihn in die Gleichung ein:
Ausgangsgleichung:
$\ y\ =\ [mm] \pm \wurzel{(1-x^2) * K + 1}$
[/mm]
Hier x=0 und y=2 einsetzen; auf das [mm] \pm [/mm] kann man
verzichten !
$\ 2\ =\ [mm] \wurzel{(1-0^2) * K + 1}$
[/mm]
Daraus erhält man K=3 und setzt dies in die
Ausgangsgleichung ein, um die Gleichung der
durch den Startpunkt [mm] P_0(0/2) [/mm] gehenden
Lösungskurve zu bekommen:
$\ y\ =\ [mm] \wurzel{3*(1-x^2)+ 1}$
[/mm]
$\ y\ =\ [mm] \wurzel{4-3\,x^2}$
[/mm]
Das sieht nach einer Halbellipse aus. Fragt sich noch,
ob es erlaubt ist, sie zur Vollellipse zu ergänzen ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 Mo 09.11.2009 | | Autor: | babapapa |
Danke euch beiden!
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