Diffeomorphismus < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Di 23.03.2010 | | Autor: | studi08 |
| Aufgabe | | Zeige, dass das Paraboloid z = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] diffeomorph ist zu einer Ebene. |
Ein Diffeomorphismus ist eine bijektive, stetig differenzierbare Abbildung, deren Umkehrabbildung auch stetig differenzierbar ist.
Ich muss also eine Ebene finden, so dass die Abbildung dieser Ebene die obigen Voraussetzungen erfüllt.
Wie muss ich da genau vorgehen? wie finde ich die Ebene?
Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand einen Tipp dazu geben könnte!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Di 23.03.2010 | | Autor: | Merle23 |
Hallo,
wie sieht denn deine Fläche aus?
Wenn du das passende Bild im Kopf hast, dann findest du relativ leicht eine Ebene in diesem Bild, auf die du das Paraboloid ganz simpel abbilden kannst.
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Di 23.03.2010 | | Autor: | studi08 |
| Aufgabe | | wie sieht denn deine Fläche aus? |
Zuerst einmal vielen Dank für den Tipp.
Meine Fläche besteht aus dem Paraboloid und einem Deckel.
Ich würde jetzt folgende Parametrisierung benutzen:
f(x,y)=(x,y,z(x,y)) und dabei in Polarkoordinaten rechnen:
[mm] f(r,\delta) [/mm] = [mm] (r\*cos\delta,r\*sin\delta,z(r,\delta))= (r\*cos\delta,r\*sin\delta, a\*r^{2})
[/mm]
Ist dieser Weg richtig? oder gibt es einen besseren und eleganteren Weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:53 Mi 24.03.2010 | | Autor: | pelzig |
> Ist dieser Weg richtig? oder gibt es einen besseren und eleganteren Weg?
Probiers doch mal mit [mm] $(x,y)\mapsto (x,y,x^2+y^2)$. [/mm] Allgemein: Ist [mm] $U\subset\IR^n$ [/mm] offen und [mm] $f:U\to\IR^m$ [/mm] glatt, dann ist der Graph [mm] $\Gamma:=\{(x,f(x))\in\IR^{n+m}\mid x\in U\}$ [/mm] eine Untermannigfaltikeit von [mm] $\IR^{n+m}$ [/mm] und via [mm] $x\mapsto [/mm] (x,f(x))$ diffeomorph zu $U$.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Merle23 |
Worauf ich eigentlich hinaus wollte: Du hast ein Paraboloid, welches bei (0,0,0) seinen Scheitel hat und sich in Richtung der z-Achse "öffnet". Also kann man das Paraboloid einfach auf die xy-Ebene projizieren (also "platt drücken") - das ist aber genau das, was pelzig auch schon gesagt hat, bzw. formalisiert hat.
LG, Alex
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