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| Aufgabe 1 | Es sei [mm] \Phi: \IC \to \IC [/mm] ein Diffeomorphismus, d.h. [mm] \Phi [/mm] ist differenzierbar, bijektiv und [mm] \Ph^{-1} [/mm] ist differenzierbar. Im folgenden bezeichnben sowohl [mm] \bruch{\delta}{\delta x_{j}} [/mm] als auch [mm] \bruch{\delta}{\delta y_{j}} [/mm] partielle Ableitungen nach der j-ten Koordinate.
Zeigen Sie: Es existieren eindeutig bestimme differenzierbare Funktionen [mm] a_{ij}: \IC \to \IR, [/mm] i,j [mm] \in \{1,2\}, [/mm] so dass gilt:
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x_{1}}\circ \Phi [/mm] = [mm] a_{11}\bruch{\delta (f \circ \Phi^{-1} )}{\delta y_{1}}+a_{12}\bruch{\delta (f \circ \Phi^{-1} )}{\delta y_{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x_{2}}\circ \Phi [/mm] = [mm] a_{21}\bruch{\delta (f \circ \Phi^{-1} )}{\delta y_{1}}+a_{22}\bruch{\delta (f \circ \Phi^{-1} )}{\delta y_{2}}
[/mm]
für alle differenzierbaren Funktionen [mm] f:\IC \to \IC [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Zeigen Sie: [mm] \Phi(x_{1}+ix_{2})=sinh(x_{1})+i((x_{1}+x_{2}) [/mm] ist ein Diffeomorphismus, wobei [mm] sinh(x_{1})=\bruch{1}{2}(e^{x_{1}}-e^{-x_{1}}). [/mm] |
| Aufgabe 3 | | Bestimmen Sie [mm] a_{ij}, [/mm] i,j [mm] \in\{1,2\} [/mm] für den Diffeomorphismus [mm] \Phi [/mm] unter Aufgabe 2. |
Guten Abend,
leider konnte ich zu dieser Aufgabe noch nicht viel Nützliches produzieren udn brauche daher eure Hilfe.
Aufgabe 1
Hier habe ich überhaupt keine Idee, wie ich das zeigen soll. Was ich mein Ansatz, was brauche ich hier?
Aufgabe 2
Hier würde ich die die Umkehrabbildung bilden wollen, um zu zeigen, dass es eine Umkehrabbildung gibt (für bijektiv) und würde zeigen, dass diese differenzierbar ist. Könnte mir jemand ein Tipp zur Umkehrabbildung geben?
Aufgabe 3
Da brauche ich wohl die Umkehrabbildung und muss die partiellen Ableitungen bilden, aber verknüpft mit f, also Kettenregel? und wie komme ich dann auf meine [mm] a_{ij}s?
[/mm]
Beste Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Do 28.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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