Diffbarkeit einer Stammfkt. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Sa 14.09.2013 | | Autor: | Boogey |
| Aufgabe | | [mm] f(n)=\begin{cases} 0 + c_{1}, & x \in [-1,0[ \\ x + c_{2}, & x \in [0,1]\end{cases} [/mm] |
Hi,
wenn ich die Diffbarkeit der Funktion prüfen will, betrachte ich ja am Besten den linksseitigen und rechtsseitigen Differentialquotienten und vergleiche beide miteinander.
Doch irgendwie bin ich mir grade unsicher, ob ich das [mm] c_{1} [/mm] bzw. [mm] c_{2} [/mm] mit in den Differentialquotienten aufnehmen muss oder nicht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Sa 14.09.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo Boogey,
ja, selbstverständlich musst Du die Konstanten mit in den Differentialquotienten aufnehmen. Ihre werte bestimmen, ob die Funktion differenzierbar ist oder nicht.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Sa 14.09.2013 | | Autor: | Boogey |
Achso, d.h. ich muss die Parameter [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] vorher bestimmen und dann kann ich den links-/bzw. rechtsseitigen Differentialquotienten berechnen? :)
Dann erhalte ich ja unterschiedliche Diff.-quotienten, d.h. die Funktion ist in x = 0 nicht diffbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Sa 14.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Achso, d.h. ich muss die Parameter [mm]c_{1}[/mm] und [mm]c_{2}[/mm] vorher
> bestimmen und dann kann ich den links-/bzw. rechtsseitigen
> Differentialquotienten berechnen? :)
Es wäre es gut, wenn du den Kontext posten würdest. Wie lautet die eigentliche Aufgabenstellung? Ohne ihre Kenntnis weiß ich nicht, was [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] eigentlich sein sollen.
> Dann erhalte ich ja unterschiedliche Diff.-quotienten, d.h.
> die Funktion ist in x = 0 nicht diffbar.
Genau, die Funktion ist (unabhängig davon, wie [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] lauten) nicht differenzierbar an der Stelle $0$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Sa 14.09.2013 | | Autor: | Boogey |
Hi, der Kontext war, dass wir beweisen sollen, dass es zu einer bestimmten Funktion f keine Stammfunktion gibt. :)
Die Funktion war definiert als [mm] f(x)=\begin{cases}0, & x\in [-1,0[ & 1, & x\in [0,1] \end{cases}
[/mm]
Die einzige mögliche Stammfunktion wäre ja die, die ich oben geschrieben hab, aber da diese Funktion nicht diffbar ist, kann sie auch keine Stammfunktion sein.
Nun hab ich doch nochmal kurz eine Frage zum Differentialquotienten allgemein, weil ich da glaube ich irgendwie was verwechsel bzw. mir etwas nicht ganz klar ist:
Angenommen wir betrachten in einer Stelle [mm] x_{0} [/mm] den links- sowie rechtsseitigen Differentialquotienten einer Funktion. Wenn beide nun gleich sind, dann ist die Funktion an dieser betrachteten Stelle diffbar.
Wenn einer der beiden/ oder beide Differentialquotienten nicht existieren, ist die Funktion an dieser Stelle ja nicht diffbar, oder?
Mir ist irgendwie unklar was passiert wenn für beide Differentialquotienten [mm] \infty [/mm] rauskommt, also die Grenzwerte nicht existieren.
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich gehe nur auf einen Teil deiner Frage ein und stelle sie deshalb auf 'teiweise beantwortet'.
> Nun hab ich doch nochmal kurz eine Frage zum
> Differentialquotienten allgemein, weil ich da glaube ich
> irgendwie was verwechsel bzw. mir etwas nicht ganz klar
> ist:
>
> Angenommen wir betrachten in einer Stelle [mm]x_{0}[/mm] den links-
> sowie rechtsseitigen Differentialquotienten einer Funktion.
> Wenn beide nun gleich sind, dann ist die Funktion an dieser
> betrachteten Stelle diffbar.
> Wenn einer der beiden/ oder beide Differentialquotienten
> nicht existieren, ist die Funktion an dieser Stelle ja
> nicht diffbar, oder?
So ist es.
> Mir ist irgendwie unklar was passiert wenn für beide
> Differentialquotienten [mm]\infty[/mm] rauskommt, also die
> Grenzwerte nicht existieren.
Na, dann ist sie an dieser Stelle eben nicht diffbar. Die Funktion f mit
[mm] f(x)=-\wurzel{|x|}
[/mm]
etwa ist an der Stelle x=0 definiert, stetig aber nicht differenzierbar. Sie nähert sich dem Ursprung von beiden Seiten her so an, dass sie letztendlich 'senkrecht' ankommt, was genau dem von dir gefragten Szewnario entspricht.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Sa 14.09.2013 | | Autor: | Boogey |
Okay, vielen Dank für die Erläuterung! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Sa 14.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Hi, der Kontext war, dass wir beweisen sollen, dass es zu
> einer bestimmten Funktion f keine Stammfunktion gibt. :)
>
> Die Funktion war definiert als [mm]f(x)=\begin{cases}0, & x\in [-1,0[ & 1, & x\in [0,1] \end{cases}[/mm]
>
> Die einzige mögliche Stammfunktion wäre ja die, die ich
> oben geschrieben hab, aber da diese Funktion nicht diffbar
> ist, kann sie auch keine Stammfunktion sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(Beachte übrigens, dass z.B.
[mm] $f\colon[0,1]\to\IR,\quad [/mm] f(x)=5$
an der Stelle $0$ differenzierbar ist, obwohl der linksseitige Grenzwert [mm] $\lim_{x\uparrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}$ [/mm] nicht existiert (mangels der Existenz einer Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n\in[0,1]$ [/mm] und [mm] $x_n<0$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und [mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=0$).)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Sa 14.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi, der Kontext war, dass wir beweisen sollen, dass es zu
> einer bestimmten Funktion f keine Stammfunktion gibt. :)
>
> Die Funktion war definiert als [mm]f(x)=\begin{cases}0, & x\in [-1,0[ & 1, & x\in [0,1] \end{cases}[/mm]
>
> Die einzige mögliche Stammfunktion wäre ja die, die ich
> oben geschrieben hab, aber da diese Funktion nicht diffbar
> ist, kann sie auch keine Stammfunktion sein.
Sachte....
Wenn f eine Stammfunktion F hätte, so würde eine solche so aussehen:
$ [mm] F(x)=\begin{cases} 0 + c_{1}, & x \in [-1,0[ \\ x + c_{2}, & x \in [0,1]\end{cases} [/mm] $.
Ist Dir klar warum ?
Nun ist F aber in 0 nicht differenzierbar, also kann f auf [-1,1] keine Stammfunktion haben.
FRED
>
> Nun hab ich doch nochmal kurz eine Frage zum
> Differentialquotienten allgemein, weil ich da glaube ich
> irgendwie was verwechsel bzw. mir etwas nicht ganz klar
> ist:
>
> Angenommen wir betrachten in einer Stelle [mm]x_{0}[/mm] den links-
> sowie rechtsseitigen Differentialquotienten einer Funktion.
> Wenn beide nun gleich sind, dann ist die Funktion an dieser
> betrachteten Stelle diffbar.
> Wenn einer der beiden/ oder beide Differentialquotienten
> nicht existieren, ist die Funktion an dieser Stelle ja
> nicht diffbar, oder?
> Mir ist irgendwie unklar was passiert wenn für beide
> Differentialquotienten [mm]\infty[/mm] rauskommt, also die
> Grenzwerte nicht existieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Sa 14.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Boogey und herzlich !
Stammfunktionen sind übrigens per Definitionem differenzierbare Funktionen. Aber die vorliegende Funktion $f$ ist (unabhängig von den Werten der Zahlen [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$) [/mm] nicht differenzierbar. Also handelt es sich bei $f$ nicht um eine Stammfunktion.
Viele Grüße
Tobias
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