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| Aufgabe | [mm] f:G\to\IC [/mm] reell dfb
z.z. [mm] \limes_{n\rightarrow\0} |\bruch{f(c+h)-f(c)}{h}| \gdw [/mm] f oder [mm] \overline{f} [/mm] in G komplex dfb |
Guten Abend!
Ich bin wieder mal an einem Punkt wo ich nicht weiter komme und hoffe jemand hier kann mir ein wenig auf die Sprünge helfen =)
Nun die Aufgabe ist die obige:
Ich habe mir bis jetzt folgendes überlegt:
normalerweise ist es ja so, das der Differenzenquotient existiert, wenn der Realteil und er Imaginärteil konvergieren. Nun muss ich hier den Betrag des Differenzenquotienten betrachten,d.h ich will gleichmässige Kgz (oder?)
Nun haben wir einige äquivanlente Definitionen von Komplex dfb und ich tu mich sehr schwer einen Einstieg mit einer dieser Definitionen zu finden..
Wäre sehr froh um kleine Tipps!
Vielen Dank Grenzwert
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gepostet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Di 09.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Grenzwert!
> [mm]f:G\to\IC[/mm] reell dfb
> z.z. [mm]\limes_{n\rightarrow\0} |\bruch{f(c+h)-f(c)}{h}| \gdw[/mm] f oder [mm]\overline{f}[/mm] in G komplex dfb
> Guten Abend!
> Ich bin wieder mal an einem Punkt wo ich nicht weiter
> komme und hoffe jemand hier kann mir ein wenig auf die
> Sprünge helfen =)
> Nun die Aufgabe ist die obige:
> Ich habe mir bis jetzt folgendes überlegt:
> normalerweise ist es ja so, das der Differenzenquotient
> existiert, wenn der Realteil und er Imaginärteil
> konvergieren. Nun muss ich hier den Betrag des
> Differenzenquotienten betrachten,d.h ich will gleichmässige
> Kgz (oder?)
>
> Nun haben wir einige äquivanlente Definitionen von Komplex
> dfb und ich tu mich sehr schwer einen Einstieg mit einer
> dieser Definitionen zu finden..
Ich finde die folgende Überlegung hilfreich zum Verständnis: Wenn f reell diff'bar ist, so existiert eine lineare Abbildung [mm]Df: \IR^2\rightarrow\IR^2[/mm]. Dies ist eine [mm]2\times2[/mm]-Matrix, die Jacobimatrix.
Komplexe Differenzierbarkeit bedeutet, dass es eine lineare Abbildung [mm]D_\IC f:\IC\rightarrow\IC[/mm] gibt. Das ist eine komplexe Zahl [mm]f'(z_0)[/mm], mit der multipliziert wird.
Damit diese beiden Begriffe übereinstimmen, muss die Multiplikation eines Vektors [mm](x,y)[/mm] mit der Jacobimatrix übereinstimmen mit der Multiplikation von [mm]x+iy[/mm] mit [mm]f'(z_0)[/mm]. Wenn du das ausrechnest und nach Real- und Imaginärteil aufteilst, kommen genau die Cauchy-Riemann-DGLen heraus.
Zur konkreten Aufgabe: Es gilt für jede komplexe Zahl [mm]c[/mm]: [mm]|c|^2 = c\cdot \bar c[/mm]. Jetzt überlege dir, wann der Grenzwert links existiert.
Viele Grüße
Rainer
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