Diff'quotient Verteilungsfunkt < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Mo 05.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Es sei X eine absolut stetig verteilte Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F und stetiger Wahrscheinlichkeitsdichte f.
Desweiteren sei [mm] t\in{\IR}.
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] \lim_{h\to{0_+}} \bruch{P[t |
Tag Leute,
also ich hab zunächst mal vereinfacht, d.h. es gilt:
[mm] \lim_{h\to{0_+}} \bruch{P[t
Das sieht nun stark nach Differenzenquotient aus, also wird hier gerade f(t) berechnet, allerdings weiß ich nun nicht wie ich zum Ziel komm.
Vielleicht hätte jemand an Tipp für mich wie ich heirbei witermachen muss, um auch wirklich am Ende auf das f(t) zu stoßen.
Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Mo 05.07.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Es sei X eine absolut stetig verteilte Zufallsvariable mit
> Verteilungsfunktion F und stetiger
> Wahrscheinlichkeitsdichte f.
> Desweiteren sei [mm]t\in{\IR}.[/mm]
>
> Bestimmen Sie [mm]\lim_{h\to{0_+}} \bruch{P[t
>
> Tag Leute,
> also ich hab zunächst mal vereinfacht, d.h. es gilt:
>
> [mm]\lim_{h\to{0_+}} \bruch{P[t
[mm] =F'(t)=\bruch{d}{dx}\left(\integral_{-\infty}^{t}{f(u) du}\right)=f(t) [/mm] nach dem Hauptsazt der Integral- und Differentialrechnung, Defintionen von F, f.
> Das sieht nun stark nach Differenzenquotient aus, also wird
> hier gerade f(t) berechnet, allerdings weiß ich nun nicht
> wie ich zum Ziel komm.
> Vielleicht hätte jemand an Tipp für mich wie ich heirbei
> witermachen muss, um auch wirklich am Ende auf das f(t) zu
> stoßen.
> Vielen Dank schon mal.
Grüße,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Mo 05.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hmm... ich dachte hier wäre noch was zu berechnen, weil in der Aufgabenstellung stand man solle den Rechenweg angeben,
aber gut in dem Fall vielen Dank für die Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:15 Di 06.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Hmm... ich dachte hier wäre noch was zu berechnen, weil in
> der Aufgabenstellung stand man solle den Rechenweg
> angeben,
> aber gut in dem Fall vielen Dank für die Hilfe.
Berechnen nicht wirklich. Aber es kommt auf das Niveau Eures Kurses an, ob zumindest noch ein paar Sätze zu verlieren sind, denn i.A. gilt nicht immer [mm]\integral_a^bf'(x)dx= f(b)-f(a)[/mm]:
Ist [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] nur monoton wachsend, so ist [mm]f[/mm] dennoch f.ü. diff'bar und es gilt [mm]\integral_a^bf'(x)dx\le f(b)-f(a)[/mm] (wenn man [mm]f'(x)=0[/mm] setzt, wo [mm]f[/mm] nicht diff'bar ist). Ist aber eine Funktion [mm]F[/mm] abs. stetig (und damit natürlich auch stetig), so ist [mm]F[/mm] f.ü. diff'bar und wenn dann noch [mm]F'=0[/mm] f.ü. gilt, ist [mm]F[/mm] eine Konstante. Ist ein [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] integrierbar, so ist [mm]F(x)=\integral_a^xf(t)dt[/mm] abs. stetig und es gilt [mm]F'=f[/mm] f.ü. Ist [mm]F:[a,b]\to\IR[/mm] andererseits abs. stetig und setzt man [mm]F'(x)=0[/mm], da wo [mm]F[/mm] nicht diff'bar ist, so ist [mm]F'[/mm] integrierbar und es gilt [mm]F(x)-F(a)=\integral_a^x F'(t)dt[/mm]. Eine Funktion [mm]F[/mm] ist genau dann ein unbestimmtes Integral, wenn [mm]F[/mm] abs. stetig ist.
Es gibt monoton wachsende stetige Funktionen mit F(0)=0 und F(1)=1 mit F'=0 f.ü. Diese sind aber nicht abs. stetig.
[mm] P(\{X\le t\}) [/mm] ist i.A. zerlegbar in drei Anteile [mm] P(\{X\le t\})=F_{abs}+ F_{Sprung}+F_{sing}, [/mm] wobei [mm] F_{abs} [/mm] abs. stetig ist, [mm] F_{Sprung} [/mm] eine reine Sprungfunktion ist und [mm] F_{sing} [/mm] singulär stetig ist
LG
gfm
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