Diff. n. verallg. Koordinaten < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Di 16.03.2010 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | Sei [mm] $\mathbf{r}=\mathbf{r}(q_{1},\dots,q_{n},t)$
[/mm]
Zeigen Sie:
a) [mm] $\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}=\frac{\partial\dot{\mathbf{r}}}{\partial\dot{q_{i}}}$ [/mm]
b) [mm] $\frac{\partial\dot{\mathbf{r}}}{\partial q_{i}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}$ [/mm] |
Kann mir hier jemand einen Tipp geben? Ich habe keinen Schimmer wie ich das zeigen soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Di 16.03.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Schreib doch zunächst einmal hin, was [mm] \bruch{d}{dt} \vec{r} [/mm] ist. (denk an die Kettenregel!)
Gruß
Doing
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:33 Mi 17.03.2010 | | Autor: | notinX |
Meinst Du das totale Differential?
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Hi,
ja, das meint er. Wenn du das aufschreibst und entsprechend differenzierst sollte a) dastehen [mm]\left(\dot{\vec{r}} = \frac{d\vec{r}}{dt}\right)[/mm]. Für b) würde ich an deiner Stelle auf beiden Seiten das totale Differential aufschreiben und mittels Satz von Schwarz vgl.
LG
supermarche
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mi 17.03.2010 | | Autor: | notinX |
Hmm... also ich stehe etwas auf dem Schlauch (ich hatte noch keine mehrdimensionale Analysis)
$ [mm] \bruch{d}{dt} \vec{r}=\vec{r}(\dot q_{1},\dots,\dot q_{n},\dot [/mm] t)$ ??
Ist r nun ein Vektor oder eine Funktion mehrerer Veränderlicher?
Das totale Differential müsste dann so aussehen:
[mm] $\mathrm{d}\vec{r}=\sum\limits _{i=1}^{n}\frac{\partial\vec{r}}{\partial q_{i}}\,\mathrm{d}q_{i}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}\,\mathrm{d}t$
[/mm]
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Hi,
also das totale Differential stimmt, wenn man nun etwas "unmathematisch" durch dt teilt bekommt man die Kettenregel für Ableitungen:
[mm] $\dot{\vec{r}} [/mm] = [mm] \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\sum\limits _{i=1}^{n}\frac{\partial\vec{r}}{\partial q_{i}}\,\frac{\mathrm{d}q_{i}}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}$
[/mm]
Auf der anderen Seite, wenn man obige Formel vergleicht mit deiner Frage:
$ [mm] \bruch{d}{dt} \vec{r}=\vec{r}(\dot q_{1},\dots,\dot q_{n},\dot [/mm] t) $
dann sieht man, dass der Zusammenhang wohl nonsense ist. Zum Thema: [mm] $\vec{r}$
[/mm]
ist eine mehrkomponentige Funktion, wobei jede Komponente von [mm] $q_i, [/mm] t$ abhängig ist, in etwa so
[mm] $\vec{r} [/mm] = [mm] f_1(q_1, [/mm] ... , [mm] q_N, t)\vec{e_1} [/mm] + [mm] f_2(q_1, [/mm] ... , [mm] q_N, t)\vec{e_2} [/mm] + [mm] f_3(q_1, [/mm] ... , [mm] q_N)\vec{e_3}$ [/mm] (mal in der Annahme, dass wir uns wie üblich im euklidischen, d.h. 3dimens. Raum befinden, wobei [mm] $\vec{e_i}$ [/mm] die Einheitsvektoren in die 3 Raumrichtungen sind und [mm] $f_i$ [/mm] die Komponentenfunktionen. Da Ableitungen aber linear sind (genauso wie die Komposition unseres euklid. VR) ist eine Ableitung von [mm] $\vec{r}$ [/mm] gleich der Ableitung aller entspr. Komponentenfunktionen -- unsere Ableitung ist also auch wieder vektoriell, wobei sie nur durch die Komponentenfunktionen bestimmt wird.
LG
supermarche
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Mi 17.03.2010 | | Autor: | notinX |
ah, so langsam werde ich aus der Sache schlau...
Es ist also
$ [mm] \dot{\vec{r}} [/mm] = [mm] \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\sum\limits _{i=1}^{n}\frac{\partial\vec{r}}{\partial q_{i}}\,\frac{\mathrm{d}q_{i}}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}=\sum\limits _{i=1}^{n}\frac{\partial\vec{r}}{\partial q_{i}}\,\dot q_i+\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}$
[/mm]
dann ist:
[mm] $\frac{\partial\dot{\vec{r}}}{\partial\dot{q_{i}}}=\sum\frac{\partial\vec{r}}{\partial q_{i}}$
[/mm]
und somit ist die a) gezeigt.
zur b)
auf der linken Seite müsste das hier rauskommen:
$ [mm] \frac{\partial\dot{\mathbf{r}}}{\partial q_{i}}=\sum\limits _{i=1}^{n}\frac{\partial^2\vec{r}}{\partial q_{i}^2}\,\dot q_i+\frac{\partial^2\vec{r}}{\partial q_i\,\partial t}$
[/mm]
aber was kommt hier raus?
[mm] $\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Mi 17.03.2010 | | Autor: | Doing |
> ah, so langsam werde ich aus der Sache schlau...
>
> Es ist also
> [mm]\dot{\vec{r}} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\sum\limits _{i=1}^{n}\frac{\partial\vec{r}}{\partial q_{i}}\,\frac{\mathrm{d}q_{i}}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}=\sum\limits _{i=1}^{n}\frac{\partial\vec{r}}{\partial q_{i}}\,\dot q_i+\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}[/mm]
>
Das ist richtig.
> dann ist:
>
> [mm]\frac{\partial\dot{\vec{r}}}{\partial\dot{q_{i}}}=\sum\frac{\partial\vec{r}}{\partial q_{i}}[/mm]
>
Nein, das ist falsch, und das steht auch nicht bei der a). Den selben Fehler machst du unten nochmal. Du musst verschiedene Indizes nehmen i ist dein Summationsindex. Dann leitest du aber nicht nach [mm] q_i [/mm] ab, sondern nach irgendeiner generalisierten Koordinate [mm] q_j [/mm] wobei die Indizes i und j nichts miteinander zutun haben.
> und somit ist die a) gezeigt.
>
> zur b)
> auf der linken Seite müsste das hier rauskommen:
> [mm]\frac{\partial\dot{\mathbf{r}}}{\partial q_{i}}=\sum\limits _{i=1}^{n}\frac{\partial^2\vec{r}}{\partial q_{i}^2}\,\dot q_i+\frac{\partial^2\vec{r}}{\partial q_i\,\partial t}[/mm]
>
Siehe oben.
> aber was kommt hier raus?
> [mm]\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}[/mm]
Leite diesen Ausdruck einfach wieder nach der Zeit ab.
Gruß,
Doing
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Mi 17.03.2010 | | Autor: | notinX |
> > dann ist:
> >
> >
> [mm]\frac{\partial\dot{\vec{r}}}{\partial\dot{q_{i}}}=\sum\frac{\partial\vec{r}}{\partial q_{i}}[/mm]
>
> >
> Nein, das ist falsch, und das steht auch nicht bei der a).
> Den selben Fehler machst du unten nochmal. Du musst
> verschiedene Indizes nehmen i ist dein Summationsindex.
> Dann leitest du aber nicht nach [mm]q_i[/mm] ab, sondern nach
> irgendeiner generalisierten Koordinate [mm]q_j[/mm] wobei die
> Indizes i und j nichts miteinander zutun haben.
Oh ja, das habe ich ganz übersehen...
Kommt dann das hier raus?
$ [mm] \frac{\partial\dot{\vec{r}}}{\partial\dot{q_{j}}}=\sum\limits _{i=1}^{n}\frac{\partial^2\vec{r}}{\partial \dot q_j\partial q_{i}}\,\dot q_i+\frac{\partial^2\vec{r}}{\partial \dot q_j\partial t}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mi 17.03.2010 | | Autor: | Doing |
hallo!
> > > dann ist:
> > >
> > >
> >
> [mm]\frac{\partial\dot{\vec{r}}}{\partial\dot{q_{i}}}=\sum\frac{\partial\vec{r}}{\partial q_{i}}[/mm]
>
> >
> > >
> > Nein, das ist falsch, und das steht auch nicht bei der a).
> > Den selben Fehler machst du unten nochmal. Du musst
> > verschiedene Indizes nehmen i ist dein Summationsindex.
> > Dann leitest du aber nicht nach [mm]q_i[/mm] ab, sondern nach
> > irgendeiner generalisierten Koordinate [mm]q_j[/mm] wobei die
> > Indizes i und j nichts miteinander zutun haben.
> Oh ja, das habe ich ganz übersehen...
> Kommt dann das hier raus?
>
> [mm]\frac{\partial\dot{\vec{r}}}{\partial\dot{q_{j}}}=\sum\limits _{i=1}^{n}\frac{\partial^2\vec{r}}{\partial \dot q_j\partial q_{i}}\,\dot q_i+\frac{\partial^2\vec{r}}{\partial \dot q_j\partial t}[/mm]
>
>
Nein, denn dann wäre ja die in a) gegebene Beziehung nicht richtig. [mm] \vec{r} [/mm] hängt nicht von den [mm] \dot{q_{i}} [/mm] ab! Du hast doch davor auch nicht danach abgeleitet.
Es ist:
[mm] \bruch{\partial \dot{\vec{r}}}{\partial \dot{q_{j}}}=\summe_{i=1}^{n}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial q_{i}} \delta_{ij}=\bruch{\partial\vec{r}}{\partial q_{j}} [/mm]
In der mitte steht das (dir hoffentlich bekannte?) Kronecker-Delta.
Gruß,
Doing
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mi 17.03.2010 | | Autor: | notinX |
> Nein, denn dann wäre ja die in a) gegebene Beziehung nicht
> richtig. [mm]\vec{r}[/mm] hängt nicht von den [mm]\dot{q_{i}}[/mm] ab! Du
> hast doch davor auch nicht danach abgeleitet.
Ja klingt einleuchtend, aber ich bin leicht verwirrt...
> Es ist:
>
> [mm]\bruch{\partial \dot{\vec{r}}}{\partial \dot{q_{j}}}=\summe_{i=1}^{n}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial q_{i}} \delta_{ij}=\bruch{\partial\vec{r}}{\partial q_{j}}[/mm]
>
> In der mitte steht das (dir hoffentlich bekannte?)
> Kronecker-Delta.
>
> Gruß,
> Doing
Ja das Kronecker-Delta kenne ich. Ich habe mich wohl zu früh gefreut...
b) die linke Seite lautet dann (hoffentlich):
[mm] $\frac{\partial\dot{\vec{r}}}{\partial q_{j}}=\sum_{i}\frac{\partial^{2}\vec{r}}{\partial q_{j}\,\partial q_{i}}\dot{q}_{i}+\frac{\partial^{2}\vec{r}}{\partial q_{j}\,\partial t}$ [/mm] ??
aber die rechte Seite macht mir immer noch zu schaffen.
> > aber was kommt hier raus?
> > [mm]\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}[/mm]
> Leite diesen Ausdruck einfach wieder nach der Zeit ab.
>
> Gruß,
> Doing
Ich muss ja erstmal wissen, was bei [mm] $\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}$ [/mm] rauskommt um es nach der Zeit abzuleiten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mi 17.03.2010 | | Autor: | Doing |
> > Nein, denn dann wäre ja die in a) gegebene Beziehung nicht
> > richtig. [mm]\vec{r}[/mm] hängt nicht von den [mm]\dot{q_{i}}[/mm] ab! Du
> > hast doch davor auch nicht danach abgeleitet.
>
> Ja klingt einleuchtend, aber ich bin leicht verwirrt...
>
> > Es ist:
> >
> > [mm]\bruch{\partial \dot{\vec{r}}}{\partial \dot{q_{j}}}=\summe_{i=1}^{n}\bruch{\partial\vec{r}}{\partial q_{i}} \delta_{ij}=\bruch{\partial\vec{r}}{\partial q_{j}}[/mm]
>
> >
> > In der mitte steht das (dir hoffentlich bekannte?)
> > Kronecker-Delta.
> >
> > Gruß,
> > Doing
>
> Ja das Kronecker-Delta kenne ich. Ich habe mich wohl zu
> früh gefreut...
>
> b) die linke Seite lautet dann (hoffentlich):
> [mm]\frac{\partial\dot{\vec{r}}}{\partial q_{j}}=\sum_{i}\frac{\partial^{2}\vec{r}}{\partial q_{j}\,\partial q_{i}}\dot{q}_{i}+\frac{\partial^{2}\vec{r}}{\partial q_{j}\,\partial t}[/mm]
> ??
>
> aber die rechte Seite macht mir immer noch zu schaffen.
> > > aber was kommt hier raus?
> > > [mm]\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}[/mm]
> > Leite diesen Ausdruck einfach wieder nach der Zeit ab.
> >
> > Gruß,
> > Doing
> Ich muss ja erstmal wissen, was bei
> [mm]\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}[/mm] rauskommt um es
> nach der Zeit abzuleiten.
Nein das musst du nicht. Die partielle Ableitung einer Funktion hat immer denselben Definitionsbereich wie die Funktion selbst (sofern die partielle Ableitung überall existiert, aber sowas wird in der Physik ja immer vorrausgesetzt). Also hängt [mm] \bruch{\partial\vec{r}}{\partial q_i} [/mm] im Allgemeinen auch wieder von den generalisierten Koordinaten und der Zeit ab. Jetzt benutzt du wieder die Kettenregel. Dann brauchst du nur noch, dass du die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauschen darfst (das ist der sog. Satz von Schwartz).
Gruß, Doing
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Do 18.03.2010 | | Autor: | notinX |
hmmm...
Also das totale Differential ist ja:
[mm] $\mathrm{\mathrm{d}}\vec{r}=\sum_{i}\frac{\partial\vec{r}}{\partial q_{i}}\mathrm{d}q_{i}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}\mathrm{d}t$
[/mm]
dann ist:
[mm] $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{r}=\sum_{i}\frac{\partial\vec{r}}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}$
[/mm]
Wenn ich das ganze nun noch nach [mm] $q_j$ [/mm] partiell ableite müsste das rauskommen:
[mm] $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial\vec{r}}{\partial q_{j}}=\sum_{i}\frac{\partial^{2}\vec{r}}{\partial q_{i}\partial q_{j}}\dot{q}_{i}+\frac{\partial^{2}\vec{r}}{\partial t\partial q_{j}}$
[/mm]
und mit dem genannten Satz von Schwartz folgt dann:
$ [mm] \frac{\partial\dot{\mathbf{r}}}{\partial q_{i}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}} [/mm] $
richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Do 18.03.2010 | | Autor: | Doing |
> hmmm...
> Also das totale Differential ist ja:
>
> [mm]\mathrm{\mathrm{d}}\vec{r}=\sum_{i}\frac{\partial\vec{r}}{\partial q_{i}}\mathrm{d}q_{i}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}\mathrm{d}t[/mm]
>
> dann ist:
>
> [mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{r}=\sum_{i}\frac{\partial\vec{r}}{\partial q_{i}}\dot{q}_{i}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}[/mm]
>
> Wenn ich das ganze nun noch nach [mm]q_j[/mm] partiell ableite
> müsste das rauskommen:
>
> [mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial\vec{r}}{\partial q_{j}}=\sum_{i}\frac{\partial^{2}\vec{r}}{\partial q_{i}\partial q_{j}}\dot{q}_{i}+\frac{\partial^{2}\vec{r}}{\partial t\partial q_{j}}[/mm]
>
Ja das stimmt.
> und mit dem genannten Satz von Schwartz folgt dann:
> [mm]\frac{\partial\dot{\mathbf{r}}}{\partial q_{i}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}}[/mm]
>
> richtig?
Also soweit sieht das jetzt ganz gut aus. Aber ich würde dir wirklich raten diese Argumentation mit dem totalen Differential sein zu lassen. Du leitest ganz einfach nach der Kettenregel ab. Man muss die Mathematik ja nicht unbedingt herausfordern, wenn es auch präzise geht.
Gruß,
Doing
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Sa 20.03.2010 | | Autor: | notinX |
> Also soweit sieht das jetzt ganz gut aus. Aber ich würde
> dir wirklich raten diese Argumentation mit dem totalen
> Differential sein zu lassen. Du leitest ganz einfach nach
> der Kettenregel ab. Man muss die Mathematik ja nicht
> unbedingt herausfordern, wenn es auch präzise geht.
>
> Gruß,
> Doing
Kannst Du mir bitte mal vorrechnen wie Du das meinst? Wie leitet man denn
[mm] $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{i}} [/mm] $
nach der Kettenregel ab?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Sa 20.03.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Nun das müsst ihr doch irgendwann mal in der Vorlesung gemacht haben.
Wenn du eine Funktion [mm] f=f(q_1(t),...,q_n(t)) [/mm] hast, lautet die Ableitung:
[mm] \bruch{df}{dt}=\summe_{i=1}^{n}\bruch{\partial f}{\partial q_i}*\bruch{dq_i}{dt} [/mm]
So ist die Physiker-Notation. Eigentlich müsste man eine neue Bezeichnung einführen, da eben eine Verkettung von Funktionen vorliegt. Siehe dazu: http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenregel
Hast du noch die sog explizite Abhängigkeit von t, so hängst du die partielle Ableitung nach t noch hintendran.
Die Differentiationsregel kann man im Rahmen der mehrdimensionalen Analysis recht einfach beweisen.
Gruß,
Doing
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Mo 22.03.2010 | | Autor: | notinX |
> Hallo!
>
> Nun das müsst ihr doch irgendwann mal in der Vorlesung
> gemacht haben.
> Wenn du eine Funktion [mm]f=f(q_1(t),...,q_n(t))[/mm] hast, lautet
> die Ableitung:
>
> [mm]\bruch{df}{dt}=\summe_{i=1}^{n}\bruch{\partial f}{\partial q_i}*\bruch{dq_i}{dt}[/mm]
>
Das war mir neu, wie gesagt ich hatte noch keine mehrdimensionale Analysis. Das einzige was mir geläufig war ist das totale Differential.
Ich danke Dir und supermarche jedenfalls für die Erläuterungen.
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