Diff. Gl. 1.Grades < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Sa 08.08.2009 | | Autor: | LowBob |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die allgemeine Lösung
[mm] y'+y\*cos(x)-cos(x)=0
[/mm]
Lösung: [mm] y=C\*e^{-sin(x)}+1 [/mm] |
Hallo,
ich habe zunächst mal +cos(x) gerechnet.
[mm] y'+y\*cos(x)=cos(x)
[/mm]
Dann die Homogene Gleichung gelöst
[mm] y=C\*e^{-sin(x)}
[/mm]
Aus C dann K(x) gemacht
[mm] y=K(x)\*e^{-sin(x)}
[/mm]
[mm] y'=K'(x)\*e^{-sin(x)}-K(x)\*cos(x)\*e^{-sin(x)}
[/mm]
Und in die Ausgangsgleichung eingesetzt.
Es bleibt [mm] K'(x)\*e^{-sin(x)}=cos(x) [/mm] über. Was nun zu integrieren wäre...
Allerdings weiß ich nicht wie ich [mm] \integral_{}^{}{cos(x)\*e^{sin(x)} dx} [/mm] Integrieren soll..
Weiß einer Rat? Hab ich was falsch gemacht?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Sa 08.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo LowBob!
> Allerdings weiß ich nicht wie ich
> [mm]\integral_{}^{}{cos(x)\*e^{sin(x)} dx}[/mm] Integrieren soll..
Substituiere $u \ := \ [mm] \sin(x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Sa 08.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Hallo Loddar!
Darf ich das einfach so machen? Obwohl sin(x) ne Funktion von x ist?
also [mm] e^{u} [/mm] wird dann integriert zu [mm] \bruch{e^{u}}{u}=\bruch{e^{sin(x)}}{sinx} [/mm] ??
Allerdings ist ja [mm] cos(x)\*e^{sin(x)} [/mm] ein Produkt. Und wie ich das Integriere weiß ich leider auch nicht...
Denn mit der Partiellen Integration erhalte ich ja im zweiten Summanden immer wieder ein Integral von sin bzw cos und [mm] e^{sinx}
[/mm]
Gruß
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Hallo LowBob,
> Hallo Loddar!
>
> Darf ich das einfach so machen? Obwohl sin(x) ne Funktion
> von x ist?
Ja, das ist ne ganz normale Substitution: [mm] $u=u(x)=\sin(x)$
[/mm]
>
> also [mm]e^{u}[/mm] wird dann integriert zu
> [mm]\bruch{e^{u}}{u}=\bruch{e^{sin(x)}}{sinx}[/mm] ??
Hää?
Es ist doch wohl [mm] $\int{e^{u} \ du}=e^{u} [/mm] \ + \ C$
[mm] $e^z$ [/mm] abgeleitet oder integriert bleibt doch [mm] $e^z$ [/mm] (beim Integrieren + Integrationskonstante)
>
> Allerdings ist ja [mm]cos(x)\*e^{sin(x)}[/mm] ein Produkt. Und wie
> ich das Integriere weiß ich leider auch nicht...
Mit der Substitution von oben kommst du doch auf das Integral [mm] $\int{e^{u} \ du}$
[/mm]
Irgendwie hast du irgendwo ein Kuddelmuddel.
Nach dem, was du vorher geschreiben hast, hattest du doch dieses Zwischenergebnis richtig?!
Ich schreibe nochmal hin, wie es geht:
Mit [mm] $\red{u=u(x)=\sin(x)}$ [/mm] ist [mm] $\frac{du}{dx}=\cos(x)$, [/mm] also [mm] $\blue{dx=\frac{du}{\cos(x)}}$
[/mm]
Damit ergibt sich [mm] $\int{\cos(x)\cdot{}e^{\red{\sin(x)}} \ \blue{dx}}=\int{\cos(x)\cdot{}e^{\red{u}} \ \blue{\frac{du}{\cos(x)}}}=\int{e^{u} \ du}$
[/mm]
Das [mm] $\cos(x)$ [/mm] kürzt sich raus ...
> Denn mit der Partiellen Integration
die brauchst du hier nicht ...
> erhalte ich ja im
> zweiten Summanden immer wieder ein Integral von sin bzw cos
> und [mm]e^{sinx}[/mm]
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Sa 08.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Hallo!
> Ja, das ist ne ganz normale Substitution: [mm]u=u(x)=\sin(x)[/mm]
>
> >
> > also [mm]e^{u}[/mm] wird dann integriert zu
> > [mm]\bruch{e^{u}}{u}=\bruch{e^{sin(x)}}{sinx}[/mm] ??
>
> Hää?
>
> Es ist doch wohl [mm]\int{e^{u} \ du}=e^{u} \ + \ C[/mm]
Ja, da hast du vollkommen Recht. Weiß auch nicht was mich da gebissen hat...
>
> [mm]e^z[/mm] abgeleitet oder integriert bleibt doch [mm]e^z[/mm] (beim
> Integrieren + Integrationskonstante)
>
> >
> > Allerdings ist ja [mm]cos(x)\*e^{sin(x)}[/mm] ein Produkt. Und wie
> > ich das Integriere weiß ich leider auch nicht...
>
> Mit der Substitution von oben kommst du doch auf das
> Integral [mm]\int{e^{u} \ du}[/mm]
>
> Irgendwie hast du irgendwo ein Kuddelmuddel.
Ja, im Kopf 
Stehe kurz vor der Klausur und bin ein wenig in Panik...
>
> Nach dem, was du vorher geschreiben hast, hattest du doch
> dieses Zwischenergebnis richtig?!
>
> Ich schreibe nochmal hin, wie es geht:
>
> Mit [mm]\red{u=u(x)=\sin(x)}[/mm] ist [mm]\frac{du}{dx}=\cos(x)[/mm], also
> [mm]\blue{dx=\frac{du}{\cos(x)}}[/mm]
>
> Damit ergibt sich [mm]\int{\cos(x)\cdot{}e^{\red{\sin(x)}} \ \blue{dx}}=\int{\cos(x)\cdot{}e^{\red{u}} \ \blue{\frac{du}{\cos(x)}}}=\int{e^{u} \ du}[/mm]
>
> Das [mm]\cos(x)[/mm] kürzt sich raus ...
>
Ja, auch da hast du Recht. Ich hab einfach n Blackout gehabt denke ich. So zu substituieren führt wie du ja schon geschrieben hast dann am Ende zu der gesuchten Lösung.
Danke!
> > Gruß
>
> LG
>
> schachuzipus
Habt ein wenig Geduld mit mir...
LG Bob
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Sa 08.08.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Hallo LowBob,
wenn du mit Loddars Tipp die Lösung hast, probiere mal alternativ die Lösung mit Trennung der Variablen, das geht hier gut.
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Sa 08.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Hallo,
ich sehe leider nicht wie das gehen soll mit Trennung der Variablen. Ich habe doch immer einen Summanden mit y und cos(x).
Kannst du mir erklären wie du das meinst?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Sa 08.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Ah, alles klar!
cos(x) ausklammern.
Hattest Recht! Ist deutlich schneller und einfacher!
Danke!
Gruß
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Vorgehensweise:
- Auflösen nach y' = ...
- cos x ausklammern ...
- durch den Klammerterm dividieren ...
- der Einfachheit halber *(-1) ...
Jetzt ist die Lösung einfach.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Sa 08.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Ätsch Bätsch!
Ich war schneller
Aber Vielen Dank für deine Antwort! Das hast du echt gut gesehen!
Gruß
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