Diff.-barkeit mit Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig und seien g,h:I [mm] \to [/mm] [a,b] differenzierbar auf I, wobei I ein Intervall sei. Zeige, dass dann auch K:I [mm] \to \IR [/mm] mit
K(x) = [mm] \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}
[/mm]
differenzierbar auf I ist und K'(x) = f(h(x))h'(x) - f(g(x))g'(x) gilt. |
Hallo,
bei der Aufgabe bräuchte ich ein paar Denkanstöße. Für Differenzierbarkeit muss ich prüfen, ob der Grenzwert:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h} [/mm]
existiert.
Für meine Aufgabe heißt das:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{K(x+h) - K(x)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\integral_{g(x+h)}^{h(x+h)}{f(t) dt} - \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}}{h}
[/mm]
soweit so gut. Nun weiß ich aber nicht weiter, weil sich die Integrale nicht zusammen fassen so ohne weiteres...
Oder ist der Ansatz schon der falsche weg?
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Hallo,
> Sei f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] stetig und seien g,h:I [mm]\to[/mm] [a,b]
> differenzierbar auf I, wobei I ein Intervall sei. Zeige,
> dass dann auch K:I [mm]\to \IR[/mm] mit
>
> K(x) = [mm]\integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}[/mm]
>
> differenzierbar auf I ist und K'(x) = f(h(x))h'(x) -
> f(g(x))g'(x) gilt.
> Hallo,
>
> bei der Aufgabe bräuchte ich ein paar Denkanstöße. Für
> Differenzierbarkeit muss ich prüfen, ob der Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h}[/mm]
>
> existiert.
>
> Für meine Aufgabe heißt das:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{K(x+h) - K(x)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\integral_{g(x+h)}^{h(x+h)}{f(t) dt} - \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}}{h}[/mm]
>
> soweit so gut. Nun weiß ich aber nicht weiter, weil sich
> die Integrale nicht zusammen fassen so ohne weiteres...
>
> Oder ist der Ansatz schon der falsche weg?
Kannst du nicht den Hauptsatz der Integralrechnung bemühen - unter Beachtung der Kettenregel?
Gruß
schachuzipus
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Möglicherweise kann man das so machen.
Der lautet bei uns:
Sei I ein Intervall. f [mm] \in [/mm] c(I) und a [mm] \in [/mm] I. Für x [mm] \in [/mm] I sei F(x) = [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt}. [/mm] Dann ist F differenzierbar.
Der Beweis läuft dann über den Grenzwert, wie ich ihn oben für meine Aufgabe auch benutzen wollte und den MWS der Integralrechnung.
Ok, dann mal wieder zur Aufgabe zurück:
Ich wähle:
g(x), h(x) [mm] \in [/mm] [a,b] und a [mm] \in [/mm] [a,b].
Dann gilt nach dem Haupsatz der Integralrechnung.
Für x [mm] \in [/mm] I ist F(x) = [mm] \integral_{g(x)}^{a}{f(t) dt} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{h(x)}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}
[/mm]
Und das wäre ja genau K und nach dem Satz Diffbar. Meintest Du das eventuell so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 24.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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[mm] \bruch{\integral_{g(x+h)}^{h(x+h)}{f(t) dt} - \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}}{h} [/mm] jetzt die nahrhafte 0 einfügen
= [mm] \bruch{\integral_{g(x+h)}^{h(x+h)}{f(t) dt} +(\integral_{h(x+h)}^{g(x)}{f(t) dt}-\integral_{h(x+h)}^{g(x)}{f(t) dt})- \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}}{h} [/mm] trennen
= [mm] \bruch{\integral_{g(x+h)}^{h(x+h)}{f(t) dt} +\integral_{h(x+h)}^{g(x)}{f(t) dt}}{h} [/mm] - [mm] \bruch{\integral_{h(x+h)}^{g(x)}{f(t) dt}+ \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}}{h} [/mm] Integralregel
= [mm] \bruch{\integral_{g(x+h)}^{g(x)}{f(t) dt} }{h} [/mm] - [mm] \bruch{\integral_{h(x+h)}^{h(x)}{f(t) dt}}{h} [/mm]
= [mm] \bruch{\integral_{h(x)}^{h(x+h)}{f(t) dt}}{h} [/mm] - [mm] \bruch{\integral_{g(x)}^{g(x+h)}{f(t) dt} }{h}
[/mm]
Rest machst du.
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Danke, habs jetzt hinbekommen! :)
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