Diff.-Geometrie: Gaussabb. < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie am Beispiel der Rotationsfläche
X(u,v) = (f(v)cosu, f(v)sinu, g(v))
die wichtigsten Grössen der Differentialgeometrie:
a) die erste Fundamentalform
b) ein Einheitsnormalenvektorfeld N
c) die zweite Fundamentalform
d) das Differential der Gaussabbildung dN |
a) und b) habe ich gelöst und habe jetzt folgendes Problem: ich bin schon bei anderen Beispielen bei der Bestimmung der Gaussabbildung (Achtung: die Gaussabbildung selber, nicht das Differential) gestolpert und wollte es an diesem Beispiel noch mal repetieren. Folgendes habe ich schon gerechnet:
1. Fundamentalform:
E= [mm] f(v)^{2}
[/mm]
F= 0
G= [mm] f'(v)^{2} [/mm] + [mm] g'(v)^{2}
[/mm]
Einheitsnormalenvektorfeld:
N = (g'(v)cosu, g'(v)sinu, [mm] f'(v)(-(sinu)^{2}-(cosu)^{2}))
[/mm]
daraus folgt
-N = (-g'(v)cosu, -g'(v)sinu, f'(v)),
-N ist die einfachere Orientierung, also hab ich mit der weitergerechnet.
Jetzt wollte ich die Gaussabbildung bestimmen. Dazu muss man ja eine Kuve [mm] \alpha(t), [/mm] die auf der Fläche liegt, konstruieren. Und da habe ich Probleme. Bei anderen Beispielen, wie dem hyperbolische Paraboloid, der mit
X(u,v) = (u, v, [mm] u^{2} [/mm] - [mm] v^{2}) [/mm] parametrisiert ist, ist die Sache klar:
Man nimmt einfach [mm] \alpha(t)=(x(t), [/mm] y(t), z(t)), wobei [mm] z(t)=x^{2}(t) [/mm] - [mm] y^{2}(t) [/mm] ist. Wie macht man dies aber jetzt bei der Rotationsfläche?
Vielen Dank
Björn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 06.09.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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