Die symmetrische Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Evindam |
Hallo,
sitze total verzweifelt vor meinem Übungsblatt und vesrtehe die folgende Aufgabe überhaupt nicht:
Es sei n [mm] \ge [/mm] 2. Für x,y [mm] \in [/mm] X mit x [mm] \not= [/mm] y heißt die Abbildung [mm] \lambda_{x,y} [/mm] : X [mm] \to [/mm] X die durch [mm] \lambda_{x,y} [/mm] (x)= y , [mm] \lambda_{x,y} [/mm] (y) = x und [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] X \ {x,y} : [mm] \lambda_{x,y} [/mm] (z) =z
charakterisiert ist, die Transposition von x und y .
Man beweise: Es gilt [mm] \lambda_{x,y} \in [/mm] S(X), ( S(X) ist die symmetrische Gruppe über X. ) und die [mm] \lambda_{x,y} [/mm] erzeugen S(X) . Das letztere soll heißen: Zu jedem [mm] \lambda \in [/mm] S(X) gibt es m [mm] \in \IN [/mm] und [mm] x_{1},...., x_{m}, y_{1},...,y_{m} \in [/mm] X mit [mm] x_{k} \not= y_{k} [/mm] für alle k [mm] \in [/mm] {1,...,m} , sodass
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \lambda_{x1,y1} [/mm] °...° [mm] \lambda_{xm,ym}
[/mm]
gilt.
(tipp vollständige Induktion)
(Wobei auf meinem Übungsblatt SIGMA anstatt LAMBDA steht)
Ich blicke gar nicht durch. Bin eurer Hilfe angewiesen, BITTE!!!!
Danke im Vorraus für die Bemühungen.
Gruß Evindam
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Naja, so schwer ist der Induktionsschritt schon nicht:
Es sei $f [mm] \in S_{n+1}$ [/mm] beliebig gewählt und die Behauptung für [mm] $S_n$ [/mm] schon gezeigt. Wir identifizieren hier
[mm] $\{f \in S_{n+1} \, : \, f(n+1)=n+1\}$
[/mm]
in kanonischer Weise mit [mm] $S_n$.
[/mm]
Im Falle $f(n+1)=n+1$ können wir auf $f$ die Induktionsvoraussetzung anwenden. Andernfalls betrachte die durch
[mm] $\sigma(n+1)=f(n+1)$,
[/mm]
[mm] $\sigma(f(n+1)) [/mm] = n+1$,
[mm] $\sigma(i)=i$ [/mm] für alle $i [mm] \in \{1,\ldots,n+1\} \setminus \{n+1,f(n+1)\}$
[/mm]
gegebene Transposition. Dann gilt
[mm] $[\sigma [/mm] f](n+1) = n+1$,
also: [mm] $\sigma [/mm] f [mm] \in S_n$,
[/mm]
und wir können auf [mm] $\sigma [/mm] f$ die Induktionsvoraussetzung anwenden. Es gibt also Transpositionen [mm] $\sigma_1,\ldots,\sigma_k$ [/mm] mit
[mm] $\sigma [/mm] f = [mm] \sigma_1 \ldots \sigma_k$.
[/mm]
So, jetzt noch beide Seiten mit [mm] $\sigma=\sigma^{-1}$ [/mm] durchmultiplizieren und du bist fertig.
War doch gar nicht so schwierig, oder? 
Liebe Grüße
Stefan
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