Die Symmetrische Gruppe Sn < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Di 08.08.2006 | | Autor: | Gelina |
| Aufgabe | | Finde Untergruppen in S3 und wenn gefunden auch mögliche Homomorphismen |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich kenne jetzt zwar die Definitionen von Gruppen und die Definition von S3, aber ich weiß nicht wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll.
Soll ich einfach 2 elemente aus S3 herausnehmen, zB (12) und (23) und dann versuchen darauf die Definitionen für eine Gruppe zu beweisen und danach dann die für einen Homomorphismus?
Das ist eine Frage aus einem Buch, zu der es leider keine Antwortmöglichkeiten gibt. Ich wäre für einen Leitfaden bei dieser Aufgabe sehr dankbar, wenns es zu einfach erscheind, auch für einen Lösungsansatz.
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Aloa Gelina,
Die Aufgabe ist etwas seltsam. So wie es aussieht - oder zumindest: Wie es sich mir erschließt - ist es eine zweigeteilte Aufgabe.
Zunächst gilt es Untergruppen der Symmetrischen Gruppe zu finden.
Auf Anhieb fallen einem sicherlich die beiden trivialen Untergruppen ein:
Die Gruppe [mm] S_{3} [/mm] und natürlich die Gruppe, die nur die Identität enthält.
In beiden Fällen lässt sich natürlich ein Homomorphismus definieren. Im Falle der Identität ist man fertig oder weißt eben gerade jedem Zykel einen um eins verschobenen zu (Nachweis der Homomorphismus-Eigenschaft wäre hier nur Schreibarbeit).
Auch das zweite Beispiel ist relativ witzlos. Wenn es in der "Zielgruppe" nur die Identität gibt, ist die einzig möglich Zurodnung:
f: [mm] S_{3} \rightarrow [/mm] {id} : f(x)=id für alle x. Diese Vorschrift erfüllt natürlich die Homomorphismus-Eigenschaft f(a)+f(b)=f(a+b).
Deutlich interessanter dürfte es bei nicht-trivialen Untergruppen werden. Hier kannst du entweder andwenden, was du über die Zykel in [mm] S_{3} [/mm] weißt, oder eben ausprobieren (dauert natürlich etwas).
Eine mögliche nicht-triviale Untergruppe der symmetrischen Gruppe [mm] S_{3} [/mm] ist sicherlich die ![[]](/images/popup.gif) alternierende Gruppe [mm] A_{3}. [/mm] Diese enthält gerade die "geraden Bestandteile" von [mm] S_{3} [/mm] und hat demnach nur halb so viele Elemente.
Auch hier muss man dann natürlich überlegen, wie man sinnvoll einen Homomorphismus beschreiben könnte. Eine Unterscheidung in "gerade" und "ungerade" Zykel würde sich für die Betrachtung anbieten.
Vielleicht hilft dir das ja ein Stück weiter!?
Namárie,
sagt ein Lary, wo nun weiter an seiner Hausarbeit schreibt
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