Die Koeffizientenmatrix < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Mi 07.07.2004 | | Autor: | nexus |
Hallo,
ich hab da eine Gleichung bei der ich einfach nicht aufs Ergebnis komme. Es ist zum wahnsinnig werden obwohl es doch irgendwie einfach ist!!(?)
Hier die Gleichung die mittels Koeffizientenmatrix gelöst werden soll.
Gegeben ist also :
I. [mm] x_{1} [/mm] - 2 [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 9
II. [mm] x_{1} [/mm] - 2 [mm] x_{2} [/mm] - 2 [mm] x_{3} [/mm] = 0
III. [mm] -3x_{1} [/mm] + 4 [mm] x_{2} [/mm] + 4 [mm] x_{3} [/mm] = 5
Ich hab schon verschiedenes ausprobiert aber bis jetzt ohne Erfolg. Eine detaillierte Lösung wär super!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Mi 07.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo nexus
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
>
> ich hab da eine Gleichung bei der ich einfach nicht aufs
> Ergebnis komme. Es ist zum wahnsinnig werden obwohl es doch
> irgendwie einfach ist!!(?)
>
> Hier die Gleichung die mittels Koeffizientenmatrix gelöst
> werden soll.
>
> Gegeben ist also :
>
> I. [mm]x_{1}[/mm] - 2 [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 9
> II. [mm]x_{1}[/mm] - 2 [mm]x_{2}[/mm] - 2 [mm]x_{3}[/mm] = 0
> III. [mm]-3x_{1}[/mm] + 4 [mm]x_{2}[/mm] + 4 [mm]x_{3}[/mm] = 5
>
> Ich hab schon verschiedenes ausprobiert aber bis jetzt ohne
> Erfolg. Eine detaillierte Lösung wär super!
>
Gut! Die Koeffizientenmatrix sieht dann so aus, wobei man am besten die Spalte hinter dem Gleichheitszeichen durch einen Strich etwas absetzt:
[mm] $\begin{vmatrix}1&-2&1&\mid 9\\1&-2&-2&\mid 0\\-3&4&4&\mid 5\end{vmatrix}$
[/mm]
Und jetzt ist das Verfahren so, dass man eine Zeile auswählt, die in der 1. Spalte einen Wert [mm] $\not [/mm] = 0$ hat. Diese Zeile bringt man durch vertauschen zweier Zeilen nach oben. In der Regel ist eine solche Vertauschung aber nicht nötig. Wir wählen also einfach die 1. Zeile. Von dieser Zeile kann man ein beliebiges Vielfache zu einer aneren Zeile addieren. Dabei wählt man das Vielfache gerade so, dass die 1. Spalte der Zeile, zu der man addiert, nachher den Wert $0$ annimmt. Wenn ich also das (-1)-Fache der 1. Zeile zur 2. Zeile addiere, dann wird der 1. Eintrag der 2. Zeile zu $0$:
[mm] $\begin{vmatrix}1&-2&1&\mid 9\\0&0&-3&\mid -9\\-3&4&4&\mid 5\end{vmatrix}$
[/mm]
Addiere ich jetzt noch das 3-Fache der 1. Zeile zur 3. Zeile, wird auch dort der 1. Eintrag $0$:
[mm] $\begin{vmatrix}1&-2&1&\mid 9\\0&0&-3&\mid -9\\0&-2&7&\mid 32\end{vmatrix}$
[/mm]
Hinweis: in der Regel wird man diese beiden Schritte in einem Aufwasch machen, also die 3. Zeile nicht nochmals in ihrer ursprünglichen Form notieren, sondern direkt die 1. Spalte zu Null machen.
Jetzt wiederholen wir den ganzen Prozess, gehen jetzt aber nur noch von der 2. Zeile an abwärts. (Die oberste Zeile blenden wir so quasi aus, ebenfalls die 1. Spalte).
Im jetzt vorliegenden Fall ist links oben (also bitte ohne oberste Zeile und ohne 1. Spalte) eine $0$. Somit müssen wir den Trick mit dem Vertauschen von 2. Zeilen anwenden: wir vertauschen die 2. und 3. Zeile:
[mm] $\begin{vmatrix}1&-2&1&\mid 9\\0&-2&7&\mid 32\\0&0&-3&\mid -9\end{vmatrix}$
[/mm]
Jetzt steht bereits unter der Zahl links oben eine $0$, womit sich das Addieren eines Mehrfachen dieser Zeile zu den (der) darunterliegenden Zeile erübrigt.
Das 1. Etappenziel ist jetzt erreicht: wir haben eine Matrix erhalten, in der im Dreieck links unten nur Nullen stehen!
Nach Belieben kann man noch die einzelnen Zeilen durch beliebige Konstanten dividieren. Weil das gerade so schön aufgeht, dividiere ich mal die unterste Zeile durch $(-3)$:
[mm] $\begin{vmatrix}1&-2&1&\mid 9\\0&-2&7&\mid 32\\0&0&1&\mid 3\end{vmatrix}$
[/mm]
Jetzt kommt die 2. Etappe: das ähnliche Verfahren wenden wir an, um die obere Dreieckshälfte voller Nullen zu bekommen. (Das darf man hier tun, weil es sich nicht um eine deutsche Fussballmannschaft handelt.)
Dazu beginnen wir jetzt aber mit der untersten Zeile und addieren ein geeignetes Mehrfaches davon zu den oberen Zeilen, so dass dort wieder Nullen entstehen. Aber Achtung: nur links von unserem Trennstrich.
Ich addiere also das (-7)-Fache der untersten Zeile zur 2.-untersten Zeile, und gerade auch noch das (-1)-Fache der untersten Zeile zur 1. Zeile:
[mm] $\begin{vmatrix}1&-2&0&\mid 6\\0&-2&0&\mid 11\\0&0&1&\mid 3\end{vmatrix}$
[/mm]
Und jetzt mit der 2. Zeile alle darüberliegenden Zahlen zu Null werden lassen! Das erreiche ich, indem ich das (-1)-Fache der 2. Zeile zur 1. Zeile addiere:
[mm] $\begin{vmatrix}1&0&0&\mid -5\\0&-2&0&\mid 11\\0&0&1&\mid 3\end{vmatrix}$
[/mm]
Jetzt ist auch die 2. Etappe fertig: ausser in der Diagonalen steht die ganze deutsche Fussball-Nationalmannschaft in der Matrix links vom Trennstrich.
Wenn man noch jede Zeile durch den Wert der Zahl links der Trennlinie, also der Zahl auf der Diagonalen, dividiert, stehen in der Diagonlen lauter $1$. In vorliegendem Falle brauche ich nur noch die 2. Zeile durch $(-2)$ zu dividieren und erhalte:
[mm] $\begin{vmatrix}1&0&0&\mid -5\\0&1&0&\mid \bruch{-11}{2}\\0&0&1&\mid 3\end{vmatrix}$
[/mm]
An dieser Matrix kannst du die Lösung direkt ablesen:
[mm] $(x_{1},x_{2},x_{3})=(-5,\bruch{-11}{2},3)$ [/mm] 
Zur Kontrolle würde ich auf jeden Fall die gefundenen Werte im gegebenen Gleichungssystem einsetzen!
Falls du noch weitere Fragen hast, scheue dich bitte nicht, diese zu stellen.
Vielleicht erkennst du an diesem Verfahren auch, dass es an sich überhaupt keine Steigerung des Schwierigkeitsgrades bedeutet, wenn du 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten zu lösen hast oder sogar 120 Gleichungen mit 120 Unbekannten. In letzterem Falle würde sich aber der Einsatz eines Computerprogrammes auf jeden Fall lohnen! 
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Mi 07.07.2004 | | Autor: | nexus |
abend,
ja cool, dass nen ich eine detaillierte Lösungsbeschreibung...besser als ich gedacht hatte. Werd mir das Ganze morgen mal genauer anschauen, habs vorerst nur einmal kurz überflogen und ich glaub ich weiß schon wo der Fehler lag, ....heut bin ich daüfür schon zu müde *ZZzzzZZ*
Auf jeden Fall DANKE für die Mühe und die genaue Lösung...DANKE und nochmal DANKE!!!!
cya
nexus
PS: evtl. Fragen etc. werden sicher noch kommen! *g*
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Do 08.07.2004 | | Autor: | nexus |
...Nach ganauem durchlesen bin ich zu dem Schluss gekommen, dass ichs doch noch nicht ganze begreife! Ab dem Punkt mit der 2. Etappe ist mir dass irgendwie unklar. Muss ich die 3 in der letzten Zeile mit der 7 multipliezieren und dass Ergebnis dann von 32 abziehen oder wie? Du sprichtst immer nur von addieren aber so komm ich nicht auf das richtige Ergebnis.
Hier mal ein Beispiel (von einer anderen Gleichung)wie wir dass in der Schule lösen (allerdings funktioniert diese Methode irgendwie auch nicht bei jeder Gleichung)
$ [mm] \begin{vmatrix} 1& 2& -4&\mid -12\\ 0& -3& -8&\mid -29\\0& 0& -9&\mid -36\end{vmatrix} [/mm] $
Die Aufstellung oben ist schon bereits die endgültigen Dreiecksform, danach wird folgendes gemacht:
3. Zeile: -9 [mm] x_{3} [/mm] = -36 ==> [mm] x_{3} [/mm] = 4
2. Zeile: 3 [mm] x_{2} [/mm] - 8 mal 4(Ergebnis von x3) = -29 ==> [mm] x_{2} [/mm] = 1
1. Zeile: [mm] x_{1} [/mm] + 2 mal 1(Ergebnis von x2) - 4 mal 4(Ergebnis von x3) = -12 ==> [mm] x_{1} [/mm] = 2
die jeweileigen Ergebnisse werden dan mit -36 / -29 und -12 dividiert und man bekommt die 3 Unbekannten [mm] x_{1} x_{2} x_{3} [/mm]
Ich weiß net aber irgendwie sitz ich ziemlich auf der Leitung....vielleicht kann kann mir ja jemand ein paar grundlegende Tipps für solche Aufgaben geben, da jede Aufgabe irgendwie anders ist. *heul* Da hab ich geglaubt ich habs begriffen und schon wieder nix......
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Do 08.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo nexus
> ...Nach ganauem durchlesen bin ich zu dem Schluss gekommen,
> dass ichs doch noch nicht ganze begreife! Ab dem Punkt mit
> der 2. Etappe ist mir dass irgendwie unklar. Muss ich die 3
> in der letzten Zeile mit der 7 multipliezieren und dass
> Ergebnis dann von 32 abziehen oder wie? Du sprichtst immer
> nur von addieren aber so komm ich nicht auf das richtige
> Ergebnis.
>
Ja, genau das meinte ich.
Statt mit $7$ zu multiplizieren und von $32$ zu subtrahieren, könnte man auch mit $(-7)$ multiplizieren und zu $32$ addieren. Das kommt auf das Gleiche heraus. Deshalb rede ich immer nur von addieren, weil ich darauf bedacht bin, durch das Multiplizieren mit einer positiven oder auch negativen Zahl das so hinzukriegen, dass durch Addition der Wert zu $0$ gemacht wird.
Also: wenn ich in einer Spalte $3$ habe, und will in der gleichen Spalte, in einer anderen Zeile, den Wert $6$ zu $0$ machen, dann multipliziere ich die $3$ mit $(-2)$ und addiere: $6 + (-6) = 0$.
Man kann aber ebensogut mit $2$ multiplizieren und von $6$ subtrahieren: $6 - 6 = 0$. Das ist Geschmacksache. Da ich aber mit Subtrahieren Mühe habe, addiere ich eben lieber.
> Hier mal ein Beispiel (von einer anderen Gleichung)wie wir
> dass in der Schule lösen (allerdings funktioniert diese
> Methode irgendwie auch nicht bei jeder Gleichung)
>
Kannst du mir bitte noch ein Beispiel zeigen, wo das nicht funktioniert? Ich habe nämlich bewusst darauf verzichtet, auch noch zu erklären, dass manchmal auch ein Vertauschen von Spalten nötig sein kann (um nicht zu verwirren). Vielleicht meinst du ein solches??
> [mm]\begin{vmatrix} 1& 2& -4&\mid -12\\ 0& -3& -8&\mid -29\\0& 0& -9&\mid -36\end{vmatrix}[/mm]
>
>
>
> Die Aufstellung oben ist schon bereits die endgültigen
> Dreiecksform, danach wird folgendes gemacht:
>
> 3. Zeile: -9 [mm]x_{3}[/mm] = -36 ==> [mm]x_{3}[/mm] = 4
> 2. Zeile: 3 [mm]x_{2}[/mm] - 8 mal 4(Ergebnis von x3) = -29 ==>
> [mm]x_{2}[/mm] = 1
> 1. Zeile: [mm]x_{1}[/mm] + 2 mal 1(Ergebnis von x2) - 4 mal
> 4(Ergebnis von x3) = -12 ==> [mm]x_{1}[/mm] = 2
>
Gut, das ist auch eine Methode, die durchaus zum Erfolg führt! Somit brauchst du meine 2. Etappe gar nicht mehr. Du siehst: viele Wege führen nach Rom, selbst in der Mathematik!
> die jeweileigen Ergebnisse werden dan mit -36 / -29 und -12
> dividiert und man bekommt die 3 Unbekannten [mm]x_{1} x_{2} x_{3}[/mm]
>
Hmm.. Das verstehe ich jetzt aber gar nicht mehr! Du hast doch einige Zeilen weiter oben bereits die Werte für [mm] $x_{1}$, $x_{2}$ [/mm] und [mm] $x_{3}$ [/mm] angegeben. Warum musst du da noch etwas dividieren?
Kannst du das bitte noch erklären?
>
> Ich weiß net aber irgendwie sitz ich ziemlich auf der
> Leitung....vielleicht kann kann mir ja jemand ein paar
> grundlegende Tipps für solche Aufgaben geben, da jede
> Aufgabe irgendwie anders ist. *heul* Da hab ich geglaubt
> ich habs begriffen und schon wieder nix......
>
Na ja, bring doch einfach nochmals ein Beispiel, wir rechnen es dann gemeinsam durch!
Oder wollen wir mit deiner jetzigen gegebenen Dreiecksform weiterfahren und damit Schritt für Schritt alle Unklarheiten beseitigen? Dann hätte ich aber auch noch gerne das ursprüngliche Gleichungssystem, amit wir dann am Schluss die Kontrolle noch durchführen können!
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Do 08.07.2004 | | Autor: | nexus |
Hi Paulus,
> Kannst du mir bitte noch ein Beispiel zeigen, wo das nicht
> funktioniert? Ich habe nämlich bewusst darauf verzichtet,
> auch noch zu erklären, dass manchmal auch ein Vertauschen
> von Spalten nötig sein kann (um nicht zu verwirren).
> Vielleicht meinst du ein solches??
Das Beispiel welches ich dir gezeigt hab, war nicht so eins wo man umstellen musste. Aber dieses könnte eins sein:
$ [mm] \begin{vmatrix} 6& 4& 1&\mid 2\\ 1& 1& 0&\mid 3\\0& 1& 1&\mid 2\end{vmatrix} [/mm] $
Als Ergebnis müsste für [mm] x_{3} [/mm] -4 für [mm] x_{2} [/mm] 6 und für [mm] x_{1} [/mm] -3 rauskommen.
Allerdings bekomme ich diese Ergebnisse nicht mit der Methode raus die wir in der Schule verwenden sollen sonder mit dem Additionsverfahren oder wie dass ganze noch mal hieß.
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> > die jeweileigen Ergebnisse werden dan mit -36 / -29 und
> -12
> > dividiert und man bekommt die 3 Unbekannten [mm]x_{1} x_{2} x_{3}[/mm]
>
> >
>
> Hmm.. Das verstehe ich jetzt aber gar nicht mehr! Du hast
> doch einige Zeilen weiter oben bereits die Werte für [mm]x_{1}[/mm],
> [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{3}[/mm] angegeben. Warum musst du da noch etwas
> dividieren?
> Kannst du das bitte noch erklären?
Hab mir schon gedacht ob ich dass nicht weglasse...ähhm im Prinzip wollte ich damit nur sagen, dass du das Ergebnis von z. B. Zeile 2 in dem Fall mit -29 teilen musst um eben [mm] x_{2} [/mm] zu bekommen. Bei Zeile 1 genau so usw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Do 08.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo nexus
> Hi Paulus,
>
> > Kannst du mir bitte noch ein Beispiel zeigen, wo das
> nicht
> > funktioniert? Ich habe nämlich bewusst darauf verzichtet,
>
> > auch noch zu erklären, dass manchmal auch ein Vertauschen
>
> > von Spalten nötig sein kann (um nicht zu verwirren).
> > Vielleicht meinst du ein solches??
>
> Das Beispiel welches ich dir gezeigt hab, war nicht so eins
> wo man umstellen musste. Aber dieses könnte eins sein:
>
> [mm]\begin{vmatrix} 6& 4& 1&\mid 2\\ 1& 1& 0&\mid 3\\0& 1& 1&\mid 2\end{vmatrix}[/mm]
>
>
> Als Ergebnis müsste für [mm]x_{3}[/mm] -4 für [mm]x_{2}[/mm] 6 und für
> [mm]x_{1}[/mm] -3 rauskommen.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ergibt auch meine Rechnung.
> Allerdings bekomme ich diese Ergebnisse nicht mit der
> Methode raus die wir in der Schule verwenden sollen sonder
> mit dem Additionsverfahren oder wie dass ganze noch mal
> hieß.
Oh, da müsstest du mir doch noch sagen, was für eine Methode ihr in der Schule denn verwenden müsst, damit wir auch das einmal hier üben können. Kannst du das noch sagen?
> -------------------
>
> > > die jeweileigen Ergebnisse werden dan mit -36 / -29 und
>
> > -12
> > > dividiert und man bekommt die 3 Unbekannten [mm]x_{1} x_{2} x_{3}[/mm]
>
> > Hmm.. Das verstehe ich jetzt aber gar nicht mehr! Du
> hast
> > doch einige Zeilen weiter oben bereits die Werte für
> [mm]x_{1}[/mm],
> > [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{3}[/mm] angegeben. Warum musst du da noch etwas
>
> > dividieren?
> > Kannst du das bitte noch erklären?
>
>
> Hab mir schon gedacht ob ich dass nicht weglasse...ähhm im
> Prinzip wollte ich damit nur sagen, dass du das Ergebnis
> von z. B. Zeile 2 in dem Fall mit -29 teilen musst um eben
> [mm]x_{2}[/mm] zu bekommen. Bei Zeile 1 genau so usw.
>
Ich versteh' es aber trotzdem nicht. $-29$ steht ja rechts von unserem Trennstrich. Wenn die Zeile zum Beispiel heisst:
[mm] $\begin{vmatrix}2&0&0&\mid -29\end{vmatrix}$
[/mm]
dann bedeutet das ja:
[mm] $2x_{1} [/mm] = -29$
Und da muss man nicht durch $-29$ dividieren, sondern durch $2$, um auf den Wert von [mm] $x_{1}$ [/mm] zu kommen.
Mit lieben Grüssen
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Do 08.07.2004 | | Autor: | nexus |
> Oh, da müsstest du mir doch noch sagen, was für eine
> Methode ihr in der Schule denn verwenden müsst, damit wir
> auch das einmal hier üben können. Kannst du das noch
> sagen?
ja dass ist diese Koeffizientenmatrix die wir bis jetzt hier auch verwendet haben...wie schon im letztem Post erklärt! Nur nicht nach deinem Verfahren d.h. mit den weiteren 0ern sondern eben mit dem Dividieren.
> Und da muss man nicht durch [mm]-29[/mm] dividieren, sondern durch
> [mm]2[/mm], um auf den Wert von [mm]x_{1}[/mm] zu kommen.
>
RICHTIG! dass meinte ich ...hab mich da nur falsch ausgedrückt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Do 08.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo nexus
ich machs nochmals, bis zur Dreiecksform, ohne viel Kommentar.
wenn du folgen kannst, dann versuchst du das Weitere, und sonst fragst du einfach nochmals.
Die Matrix lautet also:
[mm] $\begin{vmatrix}6&4&1&\mid 2\\1&1&0&\mid 3\\0&1&1&\mid 2\end{vmatrix}$
[/mm]
Weil in der 2. Zeile in der 1. Spalte eine $1$ steht, will ich diese zuoberst haben, um es dann einfacher zu haben, die restlichen Einträge in der 1. Spalte der darunterliegenden Zeilen zu $0$ werden zu lassen. Ich vertausche also die ersten 2 Zeilen:
[mm] $\begin{vmatrix}1&1&0&\mid 3\\6&4&1&\mid 2\\0&1&1&\mid 2\end{vmatrix}$
[/mm]
Jetzt das $(-6)$-Fache der 1. Zeile zur 2. addieren (du kannst auch das $6$-Fache der ersten Zeile von der 2. subtrahieren ):
[mm] $\begin{vmatrix}1&1&0&\mid 3\\0&-2&1&\mid -16\\0&1&1&\mid 2\end{vmatrix}$
[/mm]
Weil in der 4. Zeile in der 2. Spalte eine $1$ steht, will ich diese zur 2. Zeile machen, um es dann einfacher zu haben, die restlichen Einträge in der 2. Spalte der darunterliegenden Zeilen zu $0$ werden zu lassen. Ich vertausche also die letzten 2 Zeilen:
[mm] $\begin{vmatrix}1&1&0&\mid 3\\0&1&1&\mid 2\\0&-2&1&\mid -16\end{vmatrix}$
[/mm]
Jetzt addiere ich das Doppelte der 2. Zeile zur 3. Zeile:
[mm] $\begin{vmatrix}1&1&0&\mid 3\\0&1&1&\mid 2\\0&0&3&\mid -12\end{vmatrix}$
[/mm]
.. Und weil es gerade so schön aufgeht, dividiere ich die letzte Zeile noch durch $3$. Das ist aber völlig freiwillig, es geht auch ohne.
[mm] $\begin{vmatrix}1&1&0&\mid 3\\0&1&1&\mid 2\\0&0&1&\mid -4\end{vmatrix}$
[/mm]
Versuche das jetzt bitte mal, nachzuvollziehen.
Gelingt es dir nicht, dann stelle einfach weitere Fragen dazu.
Gelingt es dir aber, dann kannst du die weiteren Schritte selber versuchen und uns dein Ergebnis mitteilen. Wenn du wieder Schwierigkeiten damit hast, dann besuche uns doch einfach wieder mit den entsprechenden Fragen! Und: du sollst nicht heulen, es wird bestimmt alles gut!
Mit lieben Grüssen
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]"){kind=small}
Bravo! ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]"){kind=small}
