Dichtetransformation < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Sa 30.06.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Wenn ich die Dichte
[mm] $f_Y(y)=\left(\frac{1-p^2}{2\pi}\right)^{1/2}\exp\left[-\frac{1}{2}(1-p^2)y^2\right]$ [/mm] (*)
habe und dann die Transformation [mm] $y\mapsto u:=\frac{y}{f(x)}$ [/mm] mit [mm] $0
[mm] $f_U(u)$?
[/mm]
In dem Skript steht:
[mm] "[...]f_U(u)[...] [/mm] which is found to be identical with (*) transformed to the variable u."
Wie ist das gemeint? |
Ich komme auf [mm] $f_U(u)=f_Y(f(x)u)\cdot [/mm] f(x)$.
Aber das $f(x)$ als Faktor stört mich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 So 01.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
Niemand eine Ahnung - habe ich vllt. Angaben vergessen oder sonstwas unklar formuliert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 So 01.07.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin, $Y_$ ist normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz [mm] $\sigma^2=1/(1-\rho^2)$. [/mm] Die Transformation ist [mm] $u=\alpha [/mm] y$ mit [mm] $\alpha=1/f(x)$. [/mm] Somit ist
[mm] $F_U(u)=P(U\le u)=P(\alpha Y\le u)=P(Y\le \frac{u}{\alpha})=\Phi(\frac{u}{\sigma\alpha})$.
[/mm]
Ableiten liefert
[mm] $f_U(u)=\frac{1}{\sigma\alpha}\varphi(\frac{u}{\sigma\alpha})=f(x)\sqrt{1-\rho^2}\varphi (f(x)\sqrt{1-\rho^2}u)$.
[/mm]
Auf die Anmerkung in deinem Skript kann ich mir auch keinen Reim machen.
vg Luis
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:37 So 01.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
Danke. Ich sehe mich dann vor ein Problem gestellt.
Und zwar geht es um Folgendes.
Gegeben sei die Dichte einer bivariaten Normalverteilung mit Korrelationskoeffizient p, und zwar folgende:
[mm] $f_{X,Y}(x,y)=\frac{\sqrt{1-p^2}}{2\pi}\exp\left[-\frac{1}{2}(x^2+y^2-2pxy)\right]$
[/mm]
Die Randdichten ergeben sich dann als
[mm] $f_X(x)=\left(\frac{1-p^2}{2\pi}\right)^{1/2}\exp\left[-\frac{1}{2}(1-p^2)x^2\right]$ [/mm] (*)
[mm] $f_Y(y)=\left(\frac{1-p^2}{2\pi}\right)^{1/2}\exp\left[-\frac{1}{2}(1-p^2)y^2\right]$ [/mm] (**)
Damit errechne ich die bedingte Dichte von x, gegeben, daß [mm] $y=y_0$ [/mm] als:
[mm] $f_{X|Y}(x|y=y_0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{1}{2}(x-py_0)^2\right]$
[/mm]
Ist [mm] $y_0=0$ [/mm] hat man also
[mm] $f_{X|Y}(x|y=0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{1}{2}x^2\right]$.
[/mm]
So weit, so gut.
Nun soll man die y-Koordinate transformieren durch [mm] $u=\frac{y}{f(x)}$.
[/mm]
Die "neue" Dichte [mm] $f_{X,U}(x,u)$ [/mm] habe ich dann errechnet als:
[mm] $f_{X,U}(x,u)=\frac{\sqrt{1-p^2}}{2\pi}\exp\left[-\frac{1}{2}(x^2+u^2f^2(x)-2pxuf(x))\right]f(x)$
[/mm]
Die "neue" Randdichte [mm] $f_X(x)$ [/mm] ist nach meiner Rechnung identisch mit (*).
Und nun kommt der Knackpunkt.
Es soll am Ende herauskommen, daß die bedingte Dichte [mm] $f_{X|U}(x|u=0)$ [/mm] um den Faktor $f(x)$ abweicht von der obigen bedingten Dichte [mm] $f_{X|Y}(x|y=0)$.
[/mm]
Ich berechne diese ja so:
[mm] $f_{X|U}(x|u=0)=\frac{f_{X,U}(x,u)}{f_{U}(u)}=\frac{\frac{\sqrt{1-p^2}}{2\pi}\exp\left[-\frac{1}{2}(x^2+u^2f^2(x)-2pxuf(x)\right]f(x)}{f_{U}(u)}$
[/mm]
Aber ich komme, wie gesagt auf
[mm] $f_U(u)=f_Y(uf(x))f(x)$ [/mm] und dann würde sich das $f(x)$ ja wegkürzen und es käme eben nicht das Gewünschte heraus.
(Und Deine Antwort darauf, wie [mm] $f_U(u)$ [/mm] aussieht, kann ich da leider gar nicht zuordnen bzw. da steht ja auch als Faktor $f(x)$.)
Nun bin ich etwas ratlos...
Ich hoffe mein Problem ist einigermaßen klar geworden.
Ich kann auch einen Link angeben, in dem dieses Problem auch behandelt wird: ![[]](/images/popup.gif) Jaynes, Paradoxes of Probability Theorie, S. 14 unten und folgende
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 So 01.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ich hoffe wirklich, dass meine Frage klar geworden ist.
Sie ist zugegebenermaßen vllt. etwas lang.
Ich überlege schon ewig, wieso ich nicht herausbekomme, dass die bedingte Dichte nach der Transformation den zusätzlichen Faktor f(x) hat. Ich komme nicht drauf...
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:13 So 01.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wie ist denn diese Passage gemeint:
"But now, what is the conditional pdf for x, given that $y=y_0$? We might think that we need only set $y=y_0$ in (15-38) ans renormalize."
Wie ist das gemeint?
Wie kann man auf diesem intuitiven (und nicht immer richtigem) Weg die bedingte Dichte von x, gegeben $y=y_0$, also $f_X|Y}(x|y=y_0)$, aus $f_{X,Y}(x,y)=\frac{\sqrt{1-p^2}}{2\pi}\exp\left[-\frac{1}{2}(x^2+y^2-2pxy)\right]$ bestimmen?
Ich verstehe gar nicht, wie Jaynes das meint: Renormalisieren?
Es soll dann auf diesem intuitiven Weg herauskommen
$f_{X|Y}(x|y=y_0)=A\exp\left[-\frac{1}{2}(x^2+y_0^2-2pxy_0)\right]$, wo A eine Normalisierungskonstante sein soll.
Verstehe ich nicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 03.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 03.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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