Dichter Unterraum von $L^p$ < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 So 09.12.2012 | | Autor: | Miles |
Hallo,
beim Lernen auf meine Prüfung ist mir folgende Frage untergekommen:
Ist [mm]C_0[/mm] (Raum der kompakt getragenen stetigen Funktionen)
dicht in [mm]L^p[/mm] für [mm]1\leqslant p \leqslant \infty[/mm]?
Ich weiß bereits, dass die Aussage für [mm]1\leqslant p < \infty[/mm] erfüllt ist.
Als Argument, warum dass für [mm]p=\infty[/mm] nicht der Fall sein kann, wurde in der Vorlesung argumentiert, dass die Konvergenz bzgl. der Norm
[mm]\lVert\rVert_{\infty}[/mm] die gleichmäßige Konvergenz ist. Daraus folgt, dass der Grenzwert einer Funktionenfolge aus [mm]C_0[/mm] wieder stetig ist und sich damit nicht jede Funktion aus [mm]L^\infty[/mm] als Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen schreiben lässt.
Dieses Argument ist jedoch meines Erachtens nicht korrekt, denn mann nimmt doch den Abschluss bezüglich der [mm] $\mathrm{ess} \sup$-Norm. [/mm] Diese Norm ignoriert aber Nullmengen.
Ein Beispiel:
Eine Folge stetiger Funktionen, die eine Charakteristische Funktion [mm]\xi_A[/mm] für eine offene Menge [mm]A[/mm] approximiert ist eine Cauchy-Folge bzgl. der [mm] $\mathrm{ess} \sup$ [/mm] -Norm.
Oder ist das ein Denkfehler?
Der Einfachheit halber sei [mm]A = (0,1)[/mm] und die Approximation
[mm]f_n(x)= \min(1,n\,\mathrm{dist}(x,A^c))[/mm] dann gilt:
[mm]\lim_{n\rightarrow\infty}f_n = \xi_A[/mm] mit der Nullmenge [mm]N=\{0,1\}[/mm]
Gibt es eine schlüssigere Argumentation warum [mm]C_0[/mm] nicht dicht in [mm]L^\infty[/mm] liegt?
Vielen Dank für eure Antwort.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Miles,
>Daraus folgt, dass der Grenzwert einer Funktionenfolge aus
> [mm]C_0[/mm] wieder stetig ist und sich damit nicht jede Funktion
> aus [mm]L^\infty[/mm] als Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen
> schreiben lässt.
JA.
für Funktionenfolgen die nur aus stetigen Funktionen bestehten ist die gleichmäßige KOnvergenz gleich der esssup-Konvergenz.
Das sieht man folgendermaßen:
Sei [mm] ||f_{n}-f||_{L^\infty (\IR)}\to [/mm] 0. Dann gibt es eine Nullmenge N sodass [mm] f_{n}\to [/mm] f gleichmäßig in [mm] N^c, [/mm] also inbesondere [mm] \sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in N^c \}\to [/mm] 0, für [mm] n,m\to \infty.
[/mm]
Wegen der Stetigkeit ist aber [mm] \sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in N^c \}=\sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in \IR \} [/mm] (beachte: der Abschluss von [mm] N^c [/mm] ist gleich [mm] \IR) [/mm] und daher ist die Folge [mm] f_n [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] C(\IR) [/mm] und daher konvergent. Dass die Grenzwerte übereinstimmen, sieht man jetzt leicht.
>
> Der Einfachheit halber sei [mm]A = (0,1)[/mm] und die Approximation
> [mm]f_n(x)= \min(1,n\,\mathrm{dist}(x,A^c))[/mm] dann gilt:
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}f_n = \xi_A[/mm] mit der Nullmenge
> [mm]N=\{0,1\}[/mm]
diese Funktionenfolge approximiert das Intervall (0,1) NICHT in der esssup-Norm, sondern nur punktweise.
LG rafael
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Mo 10.12.2012 | | Autor: | Miles |
Vielen Dank für die Hilfe!
Das [mm] \sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in N^c \}=\sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in \IR \} [/mm] ist glaube ich der Schlüssel für mein Verständnis.
Wenn [mm]f_n[/mm] auf [mm]N^c[/mm] gleichmäßig konvergiert, ist zunächst [mm]f[/mm] auf [mm]N^c[/mm] stetig.
Damit aber
> [mm] \sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in N^c \}=\sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in \IR \} [/mm]
gilt, muss [mm]f[/mm] auf [mm]N[/mm] stetig fortsetzbar sein oder liege ich da falsch?
Wenn man wüsste, dass [mm]f[/mm] auf [mm]N^c[/mm] gleichmäßig stetig ist, könnte man die stetige fortsetzbarkeit auf [mm]\IR[/mm] folgern, da [mm]N^c[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm] liegt.
Warum gilt das?
|
|
|
| |
|
Hallo,
>
> Damit aber
> > [mm]\sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in N^c \}=\sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in \IR \}[/mm]
> gilt, muss [mm]f[/mm] auf [mm]N[/mm] stetig fortsetzbar sein
>
Nein, da in diesem Ausdruck der Grenzwert f ja gar nicht mehr vorkommt, sondern nur die Folgenglieder [mm] f_n, [/mm] und die sind ja nach Voraussetzung stetig.
Lg rafael
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mo 10.12.2012 | | Autor: | Miles |
Hallo,
> Nein, da in diesem Ausdruck der Grenzwert [mm]f[/mm] ja gar nicht mehr vorkommt, sondern nur die Folgenglieder [mm]f_n[/mm] und die sind ja nach
> Voraussetzung stetig.
Ok tut mir leid, dass ist natürlich richtig.
Noch eine Frage:
Warum folgt aus [mm] \sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in N^c \}\to 0[/mm] und
[mm] \sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in N^c \}=\sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in \IR \} [/mm] dass auch [mm] \sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in \IR \}\to 0[/mm] ([mm]n,m\to \infty[/mm])?
Noch einmal das Beispiel aus der Anfangsfrage:
Es stimmt natürlich, dass die Funktionenfolge nur Punktweis konvergiert. Aber wenn man jetzt die Punkte an denen die Folge nicht gleichmäßig gegen die Charakteristische Funktion [mm]\chi_A[/mm] konvergiert herausnimmt also [mm]N=\{0,1\}[/mm],
dann gilt doch [mm] \sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in N^c \}\to 0 =[/mm] ? [mm] $\mathrm{ess}\sup \{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in \IR \}
[/mm]
aber [mm] \sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in \IR \}\to 1[/mm]
Grüße und vielen Dank für deine Mühe und dein Verständnis
Miles
|
|
|
| |
|
Hi,
> Warum folgt aus [mm]\sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in N^c \}\to 0[/mm]
> und
> [mm]\sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in N^c \}=\sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in \IR \}[/mm]
> dass auch [mm]\sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in \IR \}\to 0[/mm] ([mm]n,m\to \infty[/mm])?
mal genau hinschaun, ich denke dann erübrigt sich die Frage ;).
> Noch einmal das Beispiel aus der Anfangsfrage:
> Es stimmt natürlich, dass die Funktionenfolge nur
> Punktweis konvergiert. Aber wenn man jetzt die Punkte an
> denen die Folge nicht gleichmäßig gegen die
> Charakteristische Funktion [mm]\chi_A[/mm] konvergiert herausnimmt
> also [mm]N=\{0,1\}[/mm],
> dann gilt doch [mm]\sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in N^c \}\to 0 =[/mm]
> ? [mm]$\mathrm{ess}\sup \{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in \IR \}[/mm]
> aber
> [mm]\sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in \IR \}\to 1[/mm]
Nein, die Aussage [mm] \sup\{f_{n}(x)-f_m(x) : x \in N^c \}\ \to [/mm] 0 ist falsch.
Das sieht man zum Beispiel so: sei m>n.
Es ist immer [mm] f_{m}(\bruch{1}{m})=1 [/mm] aber [mm] f_{n}(\bruch{1}{m})=\bruch{n}{m}. [/mm] Wenn n konstant bleibt und [mm] m\to \infty, [/mm] dann ist [mm] |f_{m}(\bruch{1}{m})-f_{n}(\bruch{1}{m})|\to [/mm] 1.
lg rafael
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Di 11.12.2012 | | Autor: | Miles |
Hallo,
> Das sieht man zum Beispiel so: sei m>n.
> Es ist immer [mm] f_{m}(\bruch{1}{m})=1 [/mm] aber [mm] f_{n}(\bruch{1}{m})=\bruch{n}{m}. [/mm] Wenn n konstant bleibt und [mm]n\to \infty[/mm] dann ist [mm] |f_{m}(\bruch{1}{m})-f_{n}(\bruch{1}{m})|\to [/mm] 1.
Dass Null ein kritischer Punkt ist bei dem die Funktion springt, ist mir klar. Aber:
Der Punkt Null ist nicht in [mm]N^c[/mm] deshalb muss ich diesen Punkt für das [mm]\mathrm{ess}\sup[/mm] nicht betrachten.
Damit geht [mm]|f_n(x)-f(x)|\to 0 \quad(n\to\infty)\quad\forall x\in N^c[/mm].Also insbesondere das [mm]\sup_{x\in N^c}|f_n(x)-f(x)|\to 0 \quad (n\to\infty)[/mm]
Der springende Punkt ist denke ich die Frage, ob das [mm]\mathbf{ess}\sup[/mm] Nullmengen ignoriert und wenn nicht, warum? Dann gäbe es keinen unterschied zwischen der [mm]\sup[/mm]- und [mm]\mathbf{ess}\sup[/mm]-Norm.
Bezüglich der [mm]\mathbf{ess}\sup[/mm] ist doch beispielsweise die Funktion
[mm] g(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in \IR/\{\IZ\} \\
\infty, & \mbox{für } x\in \IZ \end{cases} [/mm]
beschränkt.
dann ist doch [mm]\lim_{n\to\infty}|f_n(x)-f(x)|=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in \{0,1\} \\
0, & \mbox{für } x\in \IR/\{0,1\} \end{cases}[/mm]
[mm]\lim_{n\to\infty}\mathbf{ess}\sup |f_n(x)-f(x)|=0[/mm]
Gruß Miles
|
|
|
| |
|
Achtung: $ [mm] |f_n(x)-f(x)|\to [/mm] 0 [mm] \quad(n\to\infty)\quad\forall x\in N^c [/mm] $ Ja, aber NICHT GLEICHMÄßIG! Daher stimmt folgendes NICHT:
$ [mm] \sup_{x\in N^c}|f_n(x)-f(x)|\to [/mm] 0 [mm] \quad (n\to\infty) [/mm] $
Bitte genau aufpassen:
Es gilt sogar für alle [mm] n\in \IN: [/mm] $ [mm] esssup_{x\in \IR}|f_n(x)-f(x)|=1$. [/mm] (Einfach mal [mm] $f_n-f$ [/mm] konkret ausrechnen...)
Daher konvergiet [mm] f_n [/mm] nicht gegen $f$ in der esssup-Norm.
Zu deiner Funktion g ist folgendes zu sagen: Wenn man mit esssup-Norm arbeitet, betrachtet man den Raum [mm] L^{\infty} [/mm] (denn hier ist nun mal diese Norm definiert); d.h. man betrachtet eigentlich Äquivalenzklassen von Lebesgue fast sicher identischen Funktionen. In diesem Sinne gilt also [mm] g\equiv [/mm] 1.
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Miles |
Vielen Dank für die Geduld mit mir!
Jetzt hab ich es endlich begriffen.
Eine Funktion
[mm]h(x)=\begin{cases} \frac{1}{x}, & \mbox{für } x \in \IR/\{0\} \\
0, & \mbox{für } x=0 \end{cases} [/mm]
ist ja auch nicht essentiell beschränkt wenn man den Punkt 0 wegnimmt.
Wenn man also den Abschluss der Stetigen Funktionen bezüglich der esssup-Norm nimmt sind das, wie du bereits sagtest, die Aquivalenzklassen der stetigen Funktionen. Und damit bekomme ich sicher nicht alle Funktionen aus [mm]L^{\infty}[/mm].
Vielen Dank nochmal für die ausdauernde Hilfe!
Gruß Miles
|
|
|
|
