Dichtefunktion X+Y < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Fr 18.12.2015 | | Autor: | KeinGuru |
| Aufgabe | | X habe die Dichtefunktion [mm] $f_X(x)=2x$ [/mm] für $0 <= x <= 1$. $Y$ habe die gleiche Verteilung und ist unabhängig von $X$. Berechne und skizziere die Dichtefunktion von $X + Y$. Hinweis: Unterscheide die Fälle $x <= 1$ und $x >= 1$ und beachte, dass der Integrationsbereich der Durchschnitt jender Intervalle ist auf denen die Dichtefunktionen [mm] $\not [/mm] = 0$ sind. |
Hallo, derzeit kämpfe ich mit einer Statstik-Aufgabe und komme nicht weiter. Ich bin mir nicht sicher welche Verteilung X und Y haben, und wie ich dann auf die Dichtefunktion $X+Y$ kommen soll.
Der Hinweis hilft mir leider auch nicht weiter.
Danke für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
ihr hattet bestimmt den Begriff der ![[]](/images/popup.gif) Faltung eingeführt.
Danach ist Dichte der Summe X+Y gerade die Faltung der beiden Dichten [mm] f_X [/mm] bzw [mm] f_Y, [/mm] d.h.
[mm] $\int_{-\infty}^\infty f_X(\tau )f_Y(x-\tau )\mathrm [/mm] {d} [mm] \tau$ [/mm]
Berechnen könnte man das zwar auch anders, aber zum Skizzieren ist es sicherlich hilfreich obigen Wikipedia-Artikel mal zu lesen. Da wird das erklärt, wie man das anschaulich skizzieren kann.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Fr 18.12.2015 | | Autor: | KeinGuru |
ok, danke schonmal. Das mit der Faltung haben wir durchgenommen (Definition). Was ich jetzt noch nicht verstehe ist, wie ich auf $Y$ komme? Ist dies einfach Y=X=2x (vermutlich nicht?)?
Auch ist mir nicht ganz klar, was mir der Hinweis jetzt bringen soll. Wieso sollte ich einen Fall analysieren (x >= 1) der aber explizit bei [mm] f_X [/mm] bereits nicht mehr im Intervall liegt?
Danke.
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Hiho,
> Was ich jetzt noch nicht verstehe ist, wie ich auf [mm]Y[/mm] komme? Ist dies einfach Y=X=2x (vermutlich nicht?)?
Jein, nicht Y=X, aber [mm] $f_Y(x) [/mm] = [mm] f_X(x) [/mm] = 2x$, da X und Y gleichverteilt.
>
> Auch ist mir nicht ganz klar, was mir der Hinweis jetzt
> bringen soll. Wieso sollte ich einen Fall analysieren (x >=
> 1) der aber explizit bei [mm]f_X[/mm] bereits nicht mehr im
> Intervall liegt?
Weil du im Integral eben nicht [mm] $f_X(\tau)*f_Y(\tau)$ [/mm] betrachtest, sondern [mm] $f_X(\tau)*f_Y(x-\tau)$ [/mm] und du wirst feststellen, dass der Ausdruck (logischerweise) auf einem grösseren Intervall ungleich Null ist, als das reine Produkt.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Fr 18.12.2015 | | Autor: | KeinGuru |
ok, also ich hab jetzt folgendes:
[mm] $\int_{x=-\infty}^\infty f_X(x) [/mm] * [mm] f_Y(a-x)dx [/mm]
= [mm] \int [/mm] 2x * 2(a-x)dx = [mm] \int 4ax-4x^2 [/mm] dx$
und dann ist
[mm] $F(x)=2x^2-\frac{4}{3} x^3$.
[/mm]
Ist der Graph $F(x)$ dann bereits $X+Y$?
Und wie mache ich das nun mit den Integralgrenzen? Muss ich jetzt noch etwas ausrechnen, weil ich ja den Hinweis noch garnicht benutzt habe :/
Danke.
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Hiho,
> ok, also ich hab jetzt folgendes:
>
> [mm]$\int_{x=-\infty}^\infty f_X(x)[/mm] * [mm]f_Y(a-x)dx[/mm]
> = [mm]\int[/mm] 2x * 2(a-x)dx = [mm]\int 4ax-4x^2[/mm] dx$
Wo sind die Integralgrenzen hin?
Diese ergeben sich, wenn du die Dichtefunktionen korrekt einsetzt.
> und dann ist
> [mm]F(x)=2x^2-\frac{4}{3} x^3[/mm].
Wo ist den a hin?
> Ist der Graph [mm]F(x)[/mm] dann bereits [mm]X+Y[/mm]?
Nein.
> Und wie mache ich das nun mit den Integralgrenzen? Muss
> ich jetzt noch etwas ausrechnen, weil ich ja den Hinweis
> noch garnicht benutzt habe :/
darum geht es doch gerade.
Es ist [mm] $f_X(x) [/mm] = [mm] f_Y(x) [/mm] = [mm] 2x*1_{[0,1]}(x)$, [/mm] wobei hinteres die Indikatorfunktion zum Intervall {[0,1]} ist.
Was ist dann [mm] $f_X(x)f_Y(a-x)$?
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Fr 18.12.2015 | | Autor: | KeinGuru |
> Wo sind die Integralgrenzen hin?
> Diese ergeben sich, wenn du die Dichtefunktionen korrekt einsetzt.
So hab ich mir das gedacht:
[mm]$\int_{x=-\infty}^\infty f_X(x)[/mm] * [mm]f_Y(a-x)dx[/mm]
= [mm]\int_{x=-\infty}^\infty[/mm] 2x * 2(a-x)dx = [mm]\int_{-\infty}^\infty 4ax-4x^2[/mm] dx$
Da wir ja das Intervall [0;1] haben, würde ich beim einsetzen dann [mm] -\infty [/mm] und [mm] \infty [/mm] durch diese Grenzen ersetzen.
[mm]$\int_{x=0}^1 f_X(x)[/mm] * [mm]f_Y(a-x)dx[/mm]
= [mm]\int_{x=0}^1[/mm] 2x * 2(a-x)dx = [mm]\int_{0}^1 4ax-4x^2[/mm] dx$
> Wo ist den a hin?
Oophs. Entschuldigung, die hab ich vergessen. So:
[mm]F(x)=2ax^2-\frac{4}{3} x^3[/mm].
> Es ist [mm] $f_X(x) [/mm] = [mm] f_Y(x) [/mm] = [mm] 2x*1_{[0,1]}(x)$, [/mm] wobei hinteres die
> Indikatorfunktion zum Intervall {[0,1]} ist.
Mhm, Indikatorfunktion bzw. diese Schreibweise hilft mir leider jetzt nicht, weil wir das noch nicht besprochen haben. Es ist überhapt sehr wenig im Skript erklärt.
> Was ist dann [mm] $f_X(x)f_Y(a-x)$? [/mm]
Dies müsste doch dann: [mm] $f_X(x)f_Y(a-x)= 2x*2(a-x)=4ax-4x^2$? [/mm]
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Hiho,
die Indikatorfunktion gibt an, auf welchem Bereich die Funktion definiert ist.
In deinem Fall also [0,1].
Nun hast du das Produkt: [mm] $f_X(\tau)f_Y(x-\tau)$
[/mm]
Da sowohl [mm] f_X [/mm] als auch [mm] f_Y [/mm] nur auf [0,1] definiert sind, musst du also über den Bereich integrieren, indem [mm] $\tau\in[0,1]$ [/mm] (von [mm] f_X) [/mm] als auch [mm] $x-\tau \in[0,1]$ [/mm] liegen.
Ist dir das klar?
Welcher Bereich ist das?
Gruß,
Gono
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