Dichtefunktion/Varianz zu ber. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei X gleichverteilt auf [0,1] und Z:=max(X,1-X). Berechne die Verteilungsfunktion von Z. Weiter berechne E(Z) sowie var(Z). |
Für den Anfang kriege ich
$P(X [mm] \le Y)=1_{0 \le Y \le 1}*Y+1_{1 < Y}$ [/mm] und
$P(1-X [mm] \le [/mm] Y) = P(X [mm] \ge [/mm] Y-1)=1-P(X [mm] \le 1-Y)=1-(1-Y)*1_{0 \le Y \le 1}$
[/mm]
Jetzt ist $Z=X <=> X [mm] \ge \bruch{1}{2}$ [/mm] und $Z=(1-Y) <=> X [mm] \le \bruch{1}{2}$
[/mm]
Als Verteilungsfunktion kriege ich:
$P(Z [mm] \le [/mm] Y)= [mm] 1-(1-Y)*1_{0 \le Y \le \bruch{1}{2}}+Y*1_{\bruch{1}{2} < Y \le 1}+1_{1
Stimmt das soweit?
Ich habe jetzt aber keine Idee, wie ich die Dichtefunktion für Z berechne um dann den Erwartungswert zu bilden.
Die Dichtefunktion von X ist ja einfach 1 für $Y [mm] \in [/mm] [0,1]$ , aber wie komme ich auf jene von $1-X$ und wie setze ich die zweien dann zusammen?
Grüsse
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Hiho,
> Für den Anfang kriege ich
> [mm]P(X \le Y)=1_{0 \le Y \le 1}*Y+1_{1 < Y}[/mm] und
> [mm]P(1-X \le Y) = P(X \ge Y-1)=1-P(X \le 1-Y)=1-(1-Y)*1_{0 \le Y \le 1}[/mm]
Was soll Y sein?
Irgendwie schreibst du da viel Kram hin und nix macht Sinn....
Du sollst die Verteilung von Z berechnen, also:
[mm] $\IP(Z \le [/mm] c) = [mm] \IP(\max\{X,1-X\} \le [/mm] c)$
Mach dir nun mal Gedanken darüber, wann das Maximum zweier Werte kleiner als eine gegebene Schranke ist!
Einsetzen und du erhälst eine Bedingung an X, die du berechnen kannst, da du die Verteilung von X kennst.
MFG,
Gono.
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Hallo ja danke
Also ich komme nur auf
$P(Z [mm] \le [/mm] c ) = P(max(X,1-X) [mm] \le [/mm] c) = P(X [mm] \le [/mm] c [mm] \cap [/mm] (1-X) [mm] \le [/mm] c ) =... ?$
Hier aber komme ich nicht weiter. X und 1-X sind ja nicht 2 unabhängige Zufallsvariablen. Was ist also weiter zu tun hier?
Grüsse
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Hiho,
> [mm]P(Z \le c ) = P(max(X,1-X) \le c) = P(X \le c \cap (1-X) \le c ) =... ?[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Hier aber komme ich nicht weiter. X und 1-X sind ja nicht 2 unabhängige Zufallsvariablen. Was ist also weiter zu tun hier?
Auf jedenfall nicht einfach aufhören!
Weiter umstellen! Dann muss für X also insgesamt gelten?
Du erhälst einen Ausdruck, den du berechnen kannst.
MFG,
Gono
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siehe unten, neue Frage...
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ja ok ich kriege jetzt als Verteilungsfunktion
P(Z [mm] \le [/mm] c) = [mm] (2c-1)*1_{\bruch{1}{2} \le c \le 1} [/mm] + [mm] 1_{1 < c}
[/mm]
Ist das korrekt soweit?
Wie kann ich hier nun aber den Erwartungswert bilden?
Grüsse
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Hiho,
> ja ok ich kriege jetzt als Verteilungsfunktion
>
> P(Z [mm]\le[/mm] c) = [mm](2c-1)*1_{\bruch{1}{2} \le c \le 1}[/mm] + [mm]1_{1 < c}[/mm]
Einfach so Dinge hinzuschreiben ist nicht unbedingt zielführend (und für diejenigen, die korrigieren, auch durchaus komplizierter. Zeige doch in Zukunft bitte deine Umformungsschritte.
> Ist das korrekt soweit?
Jo, sieht gut aus.
> Wie kann ich hier nun aber den Erwartungswert bilden?
Das ist nun deine Verteilungsfunktion.
Wie sieht die Verteilungsdichte dazu aus?
Und dann gibts zwei Möglichkeiten:
1.) Du berechnest über die Dichte Erwartungswert und Varianz
2.) Du erkennst die Dichte als Dichte einer bekannten Verteilung, von der du beides bereits kennst.
MFG,
Gono.
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Danke. Ich versuche jeden Schritt niederzuschreiben, damit es klar ist.
Die Dichtefunktion ist die Ableitung der Verteilungsfunktion nach c, ja?
[mm] $\delta_Z [/mm] (c)= [mm] 2*1_{\bruch{1}{2} \le c \le 1}$
[/mm]
Der Erwartungswert berechne ich wie folgt:
[mm] $E(Z)=\integral_{-\infty}^{\infty}{2*z*1_{\bruch{1}{2} \le z \le 1} dz} [/mm] = $ (Grenzen anpassen) $ [mm] \integral_{\bruch{1}{2}}^{1}{2*z dz} [/mm] = $ integrieren
[mm] $\bruch{3}{8}$
[/mm]
[mm] $E(Z^2)=\integral_{\bruch{1}{2}}^{1}{2*z^2 dz}=$ [/mm] integrieren [mm] $\bruch{7}{12}$
[/mm]
[mm] $var(Z)=E(Z^2)-E(Z)^2=\bruch{7}{12}-\bruch{9}{64}=\bruch{85}{192}$
[/mm]
Ist das jetzt alles korrekt?
Grüsse
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Di 10.07.2012 | | Autor: | mattho |
Hallo,
kann man nicht gleich sagen, dass
Z gleichverteilt auf [0.5,1] ist?
mfg
matthias
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Hiho,
> kann man nicht gleich sagen, dass
> Z gleichverteilt auf [0.5,1] ist?
sagen kannst du viel. Nur begründen musst du es 
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Di 10.07.2012 | | Autor: | mattho |
Natürlich, das hat was.
Separates skizzieren der Dichte (Dichte bei ZV <0.5 bzw ZV >0.5)
und addieren der Dichten sollte doch genügen, oder?
MfG
Matthias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Di 10.07.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo mattho,
das glaube ich nicht, denn die Dichte ergibt sich aus der Verteilungsfunktion durch Ableitung.
Viele Grüße,
Infinit
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Hiho,
> und addieren der Dichten sollte doch genügen, oder?
mit welcher Begründung soll die Summe der Dichten die Dichte des Maximums sein?
MFG,
Gono.
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