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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Sa 03.05.2014 | | Autor: | Cyborg |
| Aufgabe | Es seien X,Y,Z ~ Uni f [0,1] verteilt und unabhängig. Zeigen Sie:
[mm] f_{X+Y+Z}(z) =\begin{cases}\bruch{z^2}{2} , & \mbox{für } 0\le z\le1 \mbox{} \\ z(3-z) - \bruch{3}{2}, & \mbox{für } 1\le z \le 2 \mbox{} \\ \bruch{(3-z)^2}{2}, & \mbox{für } 2 \le z \le 3 \mbox{}\end{cases} [/mm] |
Beweis:
Für [mm] f_{X+Y}(z) [/mm] gilt:
[mm] f_{X+Y}(z) [/mm] = [mm] \integral_{\IR}^{}{f_x(x) f_y (z-x)dx}
[/mm]
also gilt für [mm] f_{X+Y+Z}(z):
[/mm]
[mm] f_{X+Y+Z}(z) [/mm] = [mm] \integral_{\IR}^{}{f_x(x) f_y (z-x) f_z(x+y+z)dx}
[/mm]
Da die Dichten symmetrisch um 3/2 sind, reicht es die erste Hälfte der Formel zu zeigen:
[mm] f_{X+Y+Z}(z) [/mm] = [mm] \integral_{\IR}^{}{1_{[0,1]}(x) 1_{[0,1]}(z-x) 1_{[0,1]}(x+y+z)dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{\IR}^{}{1_{[0,1]}(x) 1_{[-z,1-z]}(-x) 1_{[0,1]}(x+y+z)dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{\IR}^{}{1_{[0,1]}(x) 1_{[z-1,z]}(x) 1_{[0,1]}(x+y+z)dx}
[/mm]
wobei die 1 die Indikatorfunktion darstellen soll
Jetzt komm ich nicht mehr weiter...
kann mir jemand helfen?
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Ich würde schrittweise vorgehen. [mm]X,Y,Z[/mm] haben die Dichte
[mm]u(t) = \begin{cases} 1, & t \in [0,1] \\ 0, & t \not \in [0,1] \end{cases}[/mm]
Dann hat [mm]X+Y[/mm] die Dichte
[mm]g(t) = \int_{- \infty}^{\infty} u(\tau) \cdot u(t-\tau) ~ \mathrm{d} \tau = \int_0^1 u(\tau) \cdot u(t-\tau) ~ \mathrm{d} \tau = \int_{t-1}^t u(s) ~ \mathrm{d} s[/mm]
Beim letzten Gleichheitszeichen habe ich [mm]s = t - \tau[/mm] substituiert. Für die Integration fungiert [mm]t[/mm] als Parameter.
i) Ist nun [mm]t \leq 0[/mm], so ist im letzten Integral die obere Integrationsgrenze [mm]\leq 0[/mm] und das Integral somit 0. Ist [mm]t \geq 2[/mm], so ist die untere Integrationsgrenze [mm]\geq 1[/mm] und das Integral wiederum 0.
ii) Für [mm]t \in [0,1][/mm] ist die untere Integrationsgrenze [mm]\leq 0[/mm], die obere aber [mm]\in [0,1][/mm]. Somit folgt:
[mm]g(t) = \int_0^t \mathrm{d} s = t \, , \ \ 0 \leq t \leq 1[/mm]
iii) Für [mm]t \in [1,2][/mm] ist die untere Integralgrenze [mm]\in [0,1][/mm], die obere [mm]\geq 1[/mm]. Somit folgt:
[mm]g(t) = \int_{t-1}^1 \mathrm{d} s = 2-t \, , \ \ 1 \leq t \leq 2[/mm]
Alle Fälle zusammengefaßt bekommt man als Dichte von [mm]X+Y[/mm] die Funktion
[mm]g(t) = \begin{cases} t, & t \in [0,1] \\ 2-t, & t \in [1,2] \\ 0, & t \not \in [0,2] \end{cases}[/mm]
Und jetzt geht es an die Dichte von [mm](X+Y)+Z[/mm]. Diese ist
[mm]h(t) = \int_{- \infty}^{\infty} g(\tau) \cdot u(t-\tau) ~ \mathrm{d} \tau = \int_0^2 g(\tau) \cdot u(t-\tau) ~ \mathrm{d} \tau = \int_0^1 \tau \cdot u(t-\tau) ~ \mathrm{d} \tau + \int_1^2 (2-\tau) \cdot u(t-\tau) ~ \mathrm{d} \tau[/mm]
Zuletzt wird in beiden Summanden wieder [mm]s = t - \tau[/mm] substituiert, was auf
[mm]h(t) = \int_{t-1}^t (t-s) \cdot u(s) ~ \mathrm{d} s + \int_{t-2}^{t-1} (2-t+s) \cdot u(s) ~ \mathrm{d} s[/mm]
führt.
1) Ist [mm]t \leq 0[/mm], so ist in beiden Integralen die obere Integralgrenze [mm]\leq 0[/mm], womit die Integrale verschwinden. Und ist [mm]t \geq 3[/mm], so ist in beiden Integralen die untere Integralgrenze [mm]\geq 1[/mm], womit die Integrale ebenfalls verschwinden.
2) Ist [mm]t \in [0,1][/mm], so ist im zweiten Integral die obere Integralgrenze [mm]\leq 0[/mm]. Es verschwindet. Im ersten Integral ist die untere Integralgrenze [mm]\leq 0[/mm], die obere [mm]\in [0,1][/mm]. Somit gilt:
[mm]h(t) = \int_0^t (t-s) ~ \mathrm{d} s \, , \ \ t \in [0,1][/mm]
3) Ist [mm]t \in [1,2][/mm], so ist im ersten Integral die untere Integralgrenze [mm]\in [0,1][/mm], die obere [mm]\geq 1[/mm]. Im zweiten Integral ist die untere Integralgrenze [mm]\leq 0[/mm], die obere [mm]\in [0,1][/mm]. Es folgt:
[mm]h(t) = \int_{t-1}^1 (t-s) ~ \mathrm{d} s + \int_0^{t-1} (2-t+s) ~ \mathrm{d} s \, , \ \ t \in [1,2][/mm]
4) Ist [mm]t \in [2,3][/mm], so ist im ersten Integral die untere Integralgrenze [mm]\geq 1[/mm], womit es verschwindet. Im zweiten Integral ist die untere Integralgrenze [mm]\in [0,1][/mm], die obere [mm]\geq 1[/mm]. Somit gilt:
[mm]h(t) = \int_{t-2}^1 (2-t+s) ~ \mathrm{d} s \, , \ \ t \in [2,3][/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Di 07.10.2014 | | Autor: | Bane77 |
| Aufgabe | Es seien X,Y,Z ~ Uni f [0,1] verteilt und unabhängig. Zeigen Sie:
$ [mm] f_{X+Y+Z}(z) =\begin{cases}\bruch{z^2}{2} , & \mbox{für } 0\le z\le1 \mbox{} \\ z(3-z) - \bruch{3}{2}, & \mbox{für } 1\le z \le 2 \mbox{} \\ \bruch{(3-z)^2}{2}, & \mbox{für } 2 \le z \le 3 \mbox{}\end{cases} [/mm] $ |
Hallo, ich habe folgende Musterlösung zu der Aufgabe
Meine Frage ist, wie kommt man auf die verschiedenen Intervallgrenzen?
also bei [mm] 0\le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1 auf die Untergrenze 0 und die Obergrenze z
bei [mm] 2\le [/mm] z [mm] \le [/mm] 3 auf 0 und 3-z
und bei [mm] 1\le [/mm] z [mm] \le [/mm] 2 auf z-1 und 1 bzw 1 und 2 ?
Wäre über eine schnelle Hilfe sehr dankbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Di 07.10.2014 | | Autor: | Bane77 |
Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es seien X,Y,Z ~ Uni f [0,1] verteilt und unabhängig. Zeigen Sie:
$ f_{X+Y+Z}(z) =\begin{cases}\bruch{z^2}{2} , & \mbox{für } 0\le z\le1 \mbox{} \\ z(3-z) - \bruch{3}{2}, & \mbox{für } 1\le z \le 2 \mbox{} \\ \bruch{(3-z)^2}{2}, & \mbox{für } 2 \le z \le 3 \mbox{}\end {cases} $ |
Hallo, ich habe folgende Musterlösung zu der Aufgabe:
$ f_{X+Y}(z) =\begin{cases}\ z, & \mbox{für } 0\le z\le1 \mbox{} \\ 2-z, & \mbox{für } 1\le z \le 2 \mbox{}\end {cases} $
f_{X+Y+Z}(z) = \integral_{}^{}{f_{X+Y}(y) * 1|_{[0,1]} (z-y) dx}
Da z-y \in [0,1] \gdw y \in [z-1,z]
\Rightarrow f_{X+Y+Z}(z)= \integral_{z-1}^{z}{f_{X+Y}}(y) dy
wenn 0\le z\le 1 gilt:
f_{X+Y+Z}(z)= \integral_{0}^{z}{y} dy
wenn 1\le z\le 2 gilt:
f_{X+Y+Z}(z)= \integral_{z-1}^{1}{y} dy + \integral_{1}^{z}{2-y}dy
wenn 2\le z\le 3 gilt:
f_{X+Y+Z}(z)= \integral_{z-1}^{z}{2-y} dy
\Rightarrow (x=2-y) = \integral_{0}^{3-z}{x} dx
Meine Frage ist, wie kommt man auf die verschiedenen Intervallgrenzen?
also bei 0\le z\le 1 auf die Untergrenze 0 und die Obergrenze z
bei 2\le z\le 3 auf 0 und 3-z
und bei 1\le z\le 2 auf z-1 und 1 bzw 1 und 2 ?
für eine schnelle Hilfe wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Di 07.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
>
> Meine Frage ist, wie kommt man auf die verschiedenen
> Intervallgrenzen?
Ausgangspunkt: [mm]f_{X+Y}(z) =\begin{cases}\ z, & \mbox{für } 0\le z\le1 \mbox{} \\ 2-z, & \mbox{für } 1\le z \le 2 \mbox{}\end {cases}[/mm] und [mm] f_{X+Y+Z}(z)= \integral_{z-1}^{z}{f_{X+Y}}(y)dy[/mm]
> also bei [mm]0\le z\le[/mm] 1 auf die Untergrenze 0 und die
> Obergrenze z
Für [mm] $y\le [/mm] 0$ ist der Integrand 0, also brauchst du auch nur von 0 an zu integrieren.
> bei [mm]2\le z\le[/mm] 3 auf 0 und 3-z
Wenn ich das richtig sehe ist da ein Fehler, du integrierst zunächst nur von [mm] $z-1\ge [/mm] 1$ bis 2, für [mm] $y\ge2$ [/mm] verschwindet nämlich wieder der Integrand. Wenn du nun x(y)=2-y substituierst, integrierst du von x(z-1)=3-z bis x(2)=0 und erhälst noch ein Vorzeichen von der Ableitung.
> und bei [mm]1\le z\le[/mm] 2 auf z-1 und 1 bzw 1 und 2 ?
In dem Fall ist [mm] $1\ge z-1\ge [/mm] 0 und [mm]f_{X+Y}(y) =\begin{cases}\ y, & \mbox{für } z-1\le y\le1 \mbox{} \\ 2-y, & \mbox{für } 1\le y \le z \mbox{}\end {cases}[/mm]
> für eine schnelle Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Mi 08.10.2014 | | Autor: | Bane77 |
Hallo, ich verstehe das leider immer noch nicht so ganz :(
wieso integriere ich beim ersten Integral $ [mm] 0\le z\le [/mm] 1 $ nicht von 0 bis 1? z ist doch kleinergleich 1?
und bei $ [mm] 2\le z\le [/mm] 3 $
hätte ich von 1 bis 3 integriert, da z-1 [mm] \ge [/mm] 1
und wieso kommt da dann 3-z und nicht -z+3?
und wie kommt man bei $ [mm] 1\le z\le [/mm] 2 $ auf die 1?
ich finde meinen Denkfehler einfach nicht, könntest du vielleicht nochmal schritt für schritt erklären, wie du da vorgehst? und was du wo einsetzt um irgendwas zu prüfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Mi 08.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
kann ich davon ausgehen, dass du das: $ [mm] f_{X+Y+Z}(z)= \integral_{z-1}^{z}{f_{X+Y}}(y) [/mm] dy$ verstanden hast?
> wieso integriere ich beim ersten Integral [mm]0\le z\le 1[/mm] nicht
> von 0 bis 1? z ist doch kleinergleich 1?
Nach obiger Gleichung integrierst du nur bis z, wenn du bis 1 integrieren würdest, würdest du "zu viel" integrieren in diesem Fall.
> und bei [mm]2\le z\le 3[/mm]
> hätte ich von 1 bis 3 integriert, da
> z-1 [mm]\ge[/mm] 1
Von 2 bis 3 brauchst du nicht integrieren, weil der Integrand 0 ist, und wenn du 1 als untere Grenze nimmst, integrierst du wieder "zu viel" (vgl. obige Gleichung).
> und wieso kommt da dann 3-z und nicht -z+3?
Das ist dasselbe.
>
> und wie kommt man bei [mm]1\le z\le 2[/mm] auf die 1?
In dem Fall ist ja [mm] $z-1\le1\le [/mm] z$, und der Integrand ist eine abschnittweise Funktion, die für $y<1$ anders aussieht als für $y>1$, um das obige Integral zu berechnen, ist es deshalb sinnvoll das Integral in 2 Integrale aufzuteilen, wobei einmal bis 1 und ein anderes mal von 1 an integriert wird. Wegen Integraladditivität kann man das ja machen.
>
> ich finde meinen Denkfehler einfach nicht, könntest du
> vielleicht nochmal schritt für schritt erklären, wie du
> da vorgehst? und was du wo einsetzt um irgendwas zu
> prüfen?
Liebe Grüße
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