Dichte und Verteilungsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien X und Y unabhängige, auf (0,1) gleichverteilte ZV. Berechne die Verteilungsfunktion und die Dichte von L (X+Y) |
Also unsere Lösung sieht wie folgt aus:
Es gilt: [mm] f_{x}(x)= 1_{(0,1)} [/mm] (x)
[mm] f_{y}(x)= 1_{(0,1)} [/mm] (x)
[mm] f(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{x}(x-y) f_{y}(y) dy}
[/mm]
= [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{1_{(0,1)}(x-y) 1_{(0,1)}(y)dy} [/mm]
[mm] \underbrace{}_{= 1<=> x-y \in (0,1<=> -x+y \in (-1,0)<=> y \in (x-1,x)}
[/mm]
[mm] =\integral_{-\infty}^{\infty}{1_{(x-1,x)}(y) 1_{(0,1)}(y)dy}
[/mm]
So bis hier hin habe ich das verstanden, ab hier haben wir uns dann angeschaut wie es sich für x verhält:
i) f(x) = 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in (0,2)^{2} [/mm]
ii) x [mm] \in [/mm] (0,1) => f(x)=x
iii) x [mm] \in [/mm] (1,2) => f(x) = 2-x
Was wurde genau hier gemacht wieso ist bei i) f(x)= 0, und bei ii) f(x)=x und f(x)=2-x. Ich verstehe diese Schritte, könnt ihr mir das bitte so erklären, dass ich das selber noch mal nachrechnen kann??
Vielen lieben Dank
Den Rest der Lösung habe ich verstanden, deswegen schreib ich ihn nicht mehr auf.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 Do 31.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin
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> [mm]=\integral_{-\infty}^{\infty}{1_{(x-1,x)}(y) 1_{(0,1)}(y)dy}[/mm]
>
> So bis hier hin habe ich das verstanden, ab hier haben wir
> uns dann angeschaut wie es sich für x verhält:
>
> i) f(x) = 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in (0,2)^{2}[/mm]
irgendwie ist hier der Wurm drin. Es muss heissen [mm] $x\notin [/mm] (0,2)$.
Fuer [mm] $x\not\in [/mm] (0,2)$ ist [mm] $1_{(x-1,x)}(y) 1_{(0,1)}(y)=0$ [/mm] fuer alle [mm] $y\in\IR$. [/mm] (Ueberpruefe das mal fuer $x=-1$ oder $x=3$.)
>
> ii) x [mm]\in[/mm] (0,1) => f(x)=x
Fuer [mm] $x\in [/mm] (0,1]$ ist [mm] $1_{(x-1,x)}(y) 1_{(0,1)}(y)=1$ [/mm] fuer alle $y$ mit $0<y<x$ und 0 sonst. Das Integral lautet dann [mm] $\integral_{0}^{x}\,dy=x$.
[/mm]
>
> iii) x [mm]\in[/mm] (1,2) => f(x) = 2-x
Den dritten Fall ueberlasse ich nun dir.
>
> Was wurde genau hier gemacht wieso ist bei i) f(x)= 0, und
> bei ii) f(x)=x und f(x)=2-x.
> Ich verstehe diese Schritte,
??? Meinst du *nicht*?
vg Luis
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