Dichte bestimmen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Do 03.07.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Seien X und Y unabhängige, reellwertige Zufallsvariablen mit Dichten [mm] f_X [/mm] bzw. [mm] f_Y. [/mm] Wir definieren die neue Zufallsvariable Z durch [mm] Z=e^X [/mm] * [mm] e^Y.
[/mm]
Zeige, dass die Dichte [mm] f_Z [/mm] von Z gegeben ist durch
[mm] f_Z(z)= \bruch{1}{z} \integral_{- \infty}^{\infty}{f_Y (ln(z)-x) f_X dx} [/mm] für z>0. |
Hallo.
Wie geht man prinzipiell beim Lösen einer solchen Aufgabenstellung vor? Ich wäre über eine genaue Erklärung dankbar, weil ich glaube, dass so etwas eine Standardaufgabe ist und ich nicht wirklich weiß wie ich daran gehen soll.
Auf den ersten Blick hat die Dichte von Z mich an die Faltungsformel für stetige Zufallsvariablen erinnert. Deshalb schätze ich dass es etwas damit zu tun hat.
[mm] (f_X [/mm] * [mm] f_Y) [/mm] (z) = [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{f(t)g(z-t) dt}
[/mm]
Außerdem habe ich mir folgendes überlegt:
[mm] P(e^{X+Y} [/mm] < z) = P(y < ln(z)-x) Die Ableitung von ln(z)-x nach z ist ja 1/z. All dies taucht ja auch in der gegebenen Formel auf.
Über eure Hilfe wäre ich sehr dankbar!
|
|
| |
|
Hiho,
> [mm]P(e^{X+Y}[/mm] < z) = P(y < ln(z)-x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Schreibe jetzt mal hin, wie du [mm] $P\left(y < \ln(z)-x\right)$ [/mm] jetzt ausrechnen würdest.
Und dann benutzen, dass die Dichte die Ableitung der Verteilungsfunktion ist und an den Hauptsatz der Differential und Integralrechnung denken.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Do 03.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Normalerweise würde ich jetzt ja ein Integral bilden. In diesem Fall müsste das doch die untere Grenze 0 haben, oder? Und die obere Grenze ln(z)-x. Aber was ist der Integrand?? Ich habe ja keine Dichte konkret gegeben von X und Y.
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Normalerweise würde ich jetzt ja ein Integral bilden.
Schreibe das Integral doch mal hin!!
> In diesem Fall müsste das doch die untere Grenze 0 haben,
> oder?
>Und die obere Grenze ln(z)-x
Nein, wie kommst du darauf?
Du erhälst ja auch nicht nur ein Integral, sondern ein Doppelintegral.
> Aber was ist der Integrand?? Ich habe ja keine Dichte konkret gegeben von X
> und Y.
Klar. [mm] f_X [/mm] und [mm] f_Y
[/mm]
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:25 Fr 04.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Wieso bekomme ich jetzt ein Doppelintegral? [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} \integral_{-\infty}^{\infty}{f_X f_Y dx dy}. [/mm] Aber woher weiß ich dann wie ich die Grenzen zu wählen habe? Und wie ich das integral berechne?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Wieso bekomme ich jetzt ein Doppelintegral?
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty} \integral_{-\infty}^{\infty}{f_X f_Y dx dy}.[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es gilt doch [mm]\integral_{-\infty}^{\infty} \integral_{-\infty}^{\infty}{f_X f_Y dx dy} = 1[/mm]
Da hat wohl jemand nachzuarbeiten.....
Also von vorn: gegeben sei die gemeinsame Dichte von X und Y, nennen wir sie [mm] f_{XY}
[/mm]
Wie berechnet sich dann: [mm] $P(X\le [/mm] a, Y [mm] \le [/mm] b)$?
Was weißt du über [mm] f_{XY} [/mm] wenn X und Y unabhängig sind?
Gruß,
Gono.
> Aber woher weiß ich dann wie ich die Grenzen zu wählen
> habe? Und wie ich das integral berechne?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Fr 04.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Also wenn X und Y unabhängig sind, dann ist ja [mm] f_{X,Y}(x,y)= f_X(x)*f_Y(y).
[/mm]
[mm] P(X\le [/mm] a, Y [mm] \le [/mm] b) = [mm] \integral_{-\infty}^{a}\integral_{-\infty}^{b}{f(x) f(y) dx dy}
[/mm]
Und P(y [mm] \le [/mm] ln(z)-x).
Ist das so ok?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Also wenn X und Y unabhängig sind, dann ist ja [mm]f_{X,Y}(x,y)= f_X(x)*f_Y(y).[/mm]
> [mm]P(X\le[/mm] a, Y [mm]\le[/mm] b) = [mm]\integral_{-\infty}^{a}\integral_{-\infty}^{b}{f(x) f(y) dx dy}[/mm]
Hier fehlen die Indizes bei f also:
[mm]P(X\le a, Y \le b) = \integral_{-\infty}^{a}\integral_{-\infty}^{b}{f_X(x) f_Y(y) dx dy}[/mm]
> Und P(y [mm]\le[/mm] ln(z)-x)
Was ist jetzt damit?
Tipp:
$P(Y [mm] \le \ln(z)-X) [/mm] = P(X [mm] \le \infty, [/mm] Y [mm] \le \ln(z) [/mm] - X)$
Jetzt du!
Gruß,
Gono.
>
>
> Ist das so ok?
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Fr 04.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Also dann:
P(Y [mm] \le \ln(z)-X) [/mm] = P(X [mm] \le \infty, [/mm] Y [mm] \le \ln(z) [/mm] - X) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{ln(z)-x}{f_X(x) f_Y(y) dx dy} [/mm] ?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> P(Y [mm]\le \ln(z)-X)[/mm] = P(X [mm]\le \infty,[/mm] Y [mm]\le \ln(z)[/mm] - X) = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{ln(z)-x}{f_X(x) f_Y(y) dx dy}[/mm]
Und nun ist die Dichte die Ableitung. Also: Ableiten!
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Sa 05.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Oho, da bin ich überfragt, ich habe in meinem Leben noch nie ein Doppelintegral abgeleitet... Kann man sie Integrale erst noch irgendwie auseinander ziehen, um den Hauptsatz der D&I anzuwenden?
|
|
|
| |
|
Hiho,
brauchst du nicht. Unter bestimmten Voraussetzungen an g(t,x) gilt:
[mm] $\bruch{d}{dx} \int_{-\infty}^\infty [/mm] g(t,x) dt [mm] =\int_{-\infty}^\infty \bruch{d}{dx} [/mm] g(t,x) dt$
Die Voraussetzungen sind hier gegeben, also gilt?
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 So 06.07.2014 | | Autor: | rollroll |
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{ln(z)-x}{f_X(x) f_Y(y) dx dy} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} f_X(ln(z)-x) F_Y(y)dy [/mm] ???
|
|
|
| |
|
Hiho,
7=3
Gruß,
Gono.
PS: Für mehr ausführlichere Antworten bedarf es ausführlicherer Fragen.
Du solltest mit [mm] $\bruch{d}{dz} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^{\ln(z)-x} \ldots$ [/mm] anfangen und umformen um dann auf das korrekte Ergebnis zu kommen.
Warum machst du das nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:58 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Es ist halt schwer (trotz deiner Hinweise) etwas zu lösen, dass man noch nie behandelt hat...
[mm] \bruch{d}{dz} \integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{ln(z)-x}{f_X(x) f_Y(y) dx dy} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} \bruch{d}{dz} \integral_{-\infty}^{ln(z)-x}{f_X(x) f_Y(y) dx dy}
[/mm]
Hier weiß ich es dann wieder nicht, muss man die Grenzen dann einsetzen?
Danke für deine Geduld!
Und gleich noch eine Frage: Wie würde sich denn die Rechnung ändern, wenn ich wüsste, wie X und Y verteilt sind. Wenn z.B. X exponentialverteilt ist mit Parameter [mm] \lambda_1 [/mm] und Y mit Parameter [mm] \lambda_2.[/mm]
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Es ist halt schwer (trotz deiner Hinweise) etwas zu lösen, dass man noch nie behandelt hat...
Nunja, der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist Thema des zweiten Semesters des Mathematikstudiums, diese Grundlagen sollte man können.
> [mm]\bruch{d}{dz} \integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{ln(z)-x}{f_X(x) f_Y(y) dx dy}[/mm]
> = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty} \bruch{d}{dz} \integral_{-\infty}^{ln(z)-x}{f_X(x) f_Y(y) dx dy}[/mm]
>
> Hier weiß ich es dann wieder nicht, muss man die Grenzen dann einsetzen?
Ich könnte dich jetzt fragen, was der Hauptsatz der Differntial- und Integralrechnung denn aussagt, aber sparen wir uns das mal damit wir vorankommen. Es gilt:
Sei f(x) über ganz [mm] \IR [/mm] integrierbar, dann ist $F(x) = [mm] \integral_{-\infty}^x [/mm] f(t) dt$ eine Stammfunktion von f.
Insbesondere gilt also: $F'(x) = [mm] \left(\integral_{-\infty}^x f(t) dt\right)' [/mm] = f(x)$
Dann: Mach dir mal klar, dass gilt:
[mm] $\bruch{d}{dz} \integral_{-\infty}^{ln(z)-x}f_X(x) f_Y(y) [/mm] dy = [mm] f_X(x) \bruch{d}{dz} \integral_{-\infty}^{ln(z)-x}f_Y(y) [/mm] dy$ (warum?)
Wende nun den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an und beachte, dass in der oberen Grenze nicht nur z steht, sondern eine Funktion von z und die Kettenregel zur Anwendung kommen muss..
> Und gleich noch eine Frage: Wie würde sich denn die
> Rechnung ändern, wenn ich wüsste, wie X und Y verteilt
> sind. Wenn z.B. X exponentialverteilt ist mit Parameter
> [mm]\lambda_1[/mm] und Y mit Parameter [mm]\lambda_2.[/mm]
Dann würde sich an der Rechnung gar nichts ändern, du könntest zum Schluß einfach die bekannten Dichten [mm] f_X [/mm] und [mm] f_Y [/mm] einsetzen und zusammenfassen.
edit: Mir fiel gerade noch auf, dass du bei dem Doppelintegral die Integrationsreihenfolge falsch herum hast. Darum habe ich sie in meiner Antwort mal getauscht.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Wenn ich das habe ist es mir klar. Halt eonfach die obere grenze für y einsetzen und noch mal 1/z
[mm] \bruch{d}{dz} \integral_{-\infty}^{ln(z)-x}f_X(x) f_Y(y) [/mm] dy = [mm] f_X(x) \bruch{d}{dz} \integral_{-\infty}^{ln(z)-x}f_Y(y) [/mm] dy
Aber wo ist auf der linken Seite das dx auf der linekn Seiten geblieben?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Wenn ich das habe ist es mir klar. Halt eonfach die obere
> grenze für y einsetzen und noch mal 1/z
>
> [mm]\bruch{d}{dz} \integral_{-\infty}^{ln(z)-x}f_X(x) f_Y(y)[/mm] dy
> = [mm]f_X(x) \bruch{d}{dz} \integral_{-\infty}^{ln(z)-x}f_Y(y)[/mm]
> dy
>
> Aber wo ist auf der linken Seite das dx auf der linekn
> Seiten geblieben?
ich betrachte nur das innere Integral in dem Schritt, weil das äußere [mm] $\int_{-\infty}^\infty \ldots [/mm] dx$ ja für die Umformung innerhalb des Integrals keine Rolle spielt.
Wir formen den Integranden des dx-Integrals um, das können wir auch machen ohne das Äußere immer mitzuschreiben.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Ok. Super, dann ist es klar.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Di 08.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Also, wenn X exponentialverteilt ist mit [mm] \lambda_1 [/mm] und Y exponentialverteilt ist mit [mm] \lambda_2 [/mm] ist, erhalte ich:
[mm] f_Z(z)= \I1_{ {z>0} } [/mm] 1/z [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\lambda_1 \lambda_2 exp(-x(\lambda_1+\lambda_2))(ln(z)-x) dx}.
[/mm]
Stimmt das so?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Stimmt das so?
nein.
Was ist [mm] $f_X(x)$, [/mm] was ist [mm] $f_Y(\ln(z) [/mm] -x))$?
Gruß,
Gono.
|
|
|
|
