Dichte- und Verteilungsfuntion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Fr 16.03.2007 | | Autor: | yogi |
| Aufgabe | Aufgabe 3)
Gegeben sei die Funktion f(x,y), wobei gilt:
[mm] f(x,y)=\bruch{1}{y}e^{-y-\bruch{x}{y}} \qquad [/mm] für (x,y) [mm] \in (0,\inf)\times(0,\inf)
[/mm]
und f(x,y)=0 für [mm] (x,y)\not\in(0,\inf)\times(0,\inf).
[/mm]
(a) Man zeige, dass f(x,y) eine Dichtefunktion eines zufälligen Vektors (X,Y) ist. (Hinweis: Bezüglich der dazu notwendigen Integration integriere man zuerst nach x und dann nach y.)
(b) Man berechne die Dichte der Randverteilung von Y und gebe den Erwartungswert von Y an.
Aufgabe 5)
Gegeben sei eine Folge [mm] u_1,u_2,u_3,... [/mm] von U(0,1)-gleichmäßig verteilten Zufallszahlen. Wie können daraus Weibull-verteilte Zufallszahlen berechnet werden. Man gebe dazu eine Formel an. Die Verteilungsfunktion der Weibull-Verteilung sei gegeben durch:
[mm] F_X(x)=\left\{\begin{matrix}
1-e^{-bx^p}, & x\ge0 \\
0, & x<0
\end{matrix}\right. [/mm]
(b>0,p>0).
(b) Gegeben sei mit X eine U(0,1)-gleichmäßig verteilte Zufallsvariable. Man berechne die Verteilungsfunktionen von Y=ln X |
Auch diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
Dies sind 2 weitere Aufgaben zu denen ich Lektüre suche. Ich würde es wirklich begrüßen, wenn ihr leicht verständliche Erklärungen zu dieser Art von Aufgaben hättet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Fr 16.03.2007 | | Autor: | yogi |
Ist gut gemeint, aber ich verstehe die Sachen schon kaum wenn die Quelle in Deutsch ist. Die Quelle die du gepostet hast (4.2), verstehe ich leider nicht.
Gibt es nichts einfaches in deutsch?
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was ist gemeint mit siehe oben? könnten Sie bitte ein paar Lösungsansätze schreiben? ich weiss nicht wie ich die Aufgaben lösen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Fr 16.03.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin,
mit "oben", war ein Hinweis auf das folgende Buch gemeint:
Schaum's Outline of Probability and Statistics
von Murray R. Spiegel (Autor), John J. Schiller (Autor), R. A. Srinivasan
an. Gibt's glaube ich auch in Deutsch.
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achso ok.
und ein kleiner lösungsansatz wie ich das integrieren soll in Aufgabe 3?
wie soll man das machen wenn da im exponent x/y steht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Fr 16.03.2007 | | Autor: | luis52 |
Loesung zu 3a)
Ich erinnere an die Expontialverteilung. Deren Dichte ist fuer [mm] $\lambda>0$ [/mm] gegeben durch [mm] $g(x)=\lambda\exp[-\lambda [/mm] x]$ f"ur $x>0$ und $f(x)=0$ sonst. Damit gilt
[mm] $\int_0^\infty \exp[-\lambda x]\, dx=1/\lambda$, [/mm] was ich im Folgenden ausnutze.
Dass gilt [mm] $f(x,y)\ge0$ [/mm] fuer alle $x,y$, ist offensichtlich. Wir erhalten weiter:
[mm] \begin{matrix}
\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dx\,dy &=&
\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{y}\exp[-y]\exp[-x/y]\,dx\,dy\\
&=&\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{y}\exp[-y]\int_{0}^{+\infty}\exp[-x/y] \,dx\,dy\\
&=&\int_{0}^{+\infty}\exp[-y]\,dy\\
&=&1
\end{matrix} [/mm]
hth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Fr 16.03.2007 | | Autor: | bozo20 |
Hallo,
ich hatte es so gerechnet:
[mm]\begin{matrix}
\integral_{-\infty}^{+\infty}\integral_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dx\,dy &=&
\integral_{0}^{+\infty}\integral_{0}^{+\infty}\frac{1}{y}\exp[-y-x/y]\,dx\,dy\\
&=&\integral_{0}^{+\infty} \left( -\exp[-y-x/y] |^\infty_0 \right) \,dy\\
&=&\integral_{0}^{+\infty} \left( 0 - \left( -\exp[-y] \right) \right) \,dy\\
&=&-\exp[-y] |^\infty_0\
&=&0- \left(-1\right)&=&1
\end{matrix}[/mm]
macht das Sinn, kann man es so auflösen?
Ich bin mir nicht so sicher, wo ich jetzt (d)einen anderen Lösungsweg gesehn hab.
- bozo20
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Andy123 |
Hallo bozo20,
denke, dass Dein Lösungsweg richtig ist.
luis ist den gleichen Weg gegangen, hat sich jedoch IHMO folgende Überlegung zu Nutze gemacht:
[mm] $\int_0^\infty \exp[-\lambda x]\, dx=1/\lambda$
[/mm]
also ist
[mm] $\int_0^\infty \exp[-\bruch{1}{y}*x]\, [/mm] dx=y $ mit $ [mm] \lambda=\bruch{1}{y} [/mm] $
[mm] $\int_0^\infty \exp[-y]\, [/mm] dy=1 $ mit $ [mm] \lambda=1 [/mm] $
Grüße
Andy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo bozo!
Dein Rechenweg sieht richtig aus ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Auch wenn die Darstellung der uneigentlichen Integrale m.M.n. doch mit Grenzwerten durchgeführt werden sollte.
Aber der Übersichtlichkeit halber in dieser Aufgabe kann man darauf auch mal großzügig verzichten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Andy123 |
Hallo zusammen,
ist es möglich die Randdichte von X zu obiger Aufgabe 3 mit relativ
geringem mathematischen Aufwand zu bestimmen und wenn ja wie?
(unter Annahme, dass X und Y stoch. unabh. sind, ist die Lösung klar).
Grüße
Andy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Fr 16.03.2007 | | Autor: | luis52 |
> Hallo zusammen,
>
> ist es möglich die Randdichte von X zu obiger Aufgabe 3 mit
> relativ
> geringem mathematischen Aufwand zu bestimmen und wenn ja
> wie?
Sei $y>0$:
[mm] \begin{matrix}
f_2(y) &=&
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dx \\
&=&
\frac{1}{y}\exp[-y]\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\exp[-x/y]\,dx\\
&=&\frac{1}{y}\exp[-y]y\\
&=&\exp[-y]
\end{matrix} [/mm]
Ah, $Y$ ist exponentialverteilt mit [mm] $\lambda=1$. [/mm] Einfach genug?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Andy123 |
Hallo luis,
danke für Deine Antwort.
Sorry, habe mich anscheinend falsch ausgedrückt.
Ich meinte die Dichte der Randverteilung von X.
Grüße
Andy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Sa 17.03.2007 | | Autor: | luis52 |
>
> Sorry, habe mich anscheinend falsch ausgedrückt.
> Ich meinte die Dichte der Randverteilung von X.
Nein, nein. Mein Versehen. Habe deine Frage nicht ordentlich
gelesen.
Hab mal versucht, mit Mathematica die Dichte von $X$ zu bestimmen. Scheint ziemlich kompliziert zu sein. Auch der urspruengliche Aufgabentext deutet darauf hin.
Muss passen. Tut mir Leid.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 So 18.03.2007 | | Autor: | Andy123 |
Hallo luis,
danke!
Grüße
Andy
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:38 So 18.03.2007 | | Autor: | Andy123 |
Hallo zusammen,
habe zu o.g. Aufgabe meinen Lösungsweg mal aufgeschrieben.
Da ich mir nicht sicher bin, formuliere ich den Artikel als Frage.
Sei $ U $ eine standard-rechteck-verteilte Zufallsvariable, dann ist $ X = - [mm] \bruch{1}{\lambda} \ln [/mm] U $ exponentialverteilt mit Parameter $ [mm] \lambda [/mm] $:
[mm] F_X(x)=P(X \le x) = P(- \bruch{1}{\lambda} \ln U \le x) = P(\ln U \ge - \lambda x)=1-P(\ln U < - \lambda x)=1-P(\ln U \le - \lambda x) = 1- P(U \le e^{- \lambda x})=1-F_U(e^{- \lambda x}) [/mm]
d.h.
[mm] F_X(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{für } x<0 \\ 1-e^{- \lambda x}
& \mbox{für } x \ge 0 \end{cases} [/mm]
mit [mm] \lambda [/mm] >0.
Für eine Folge Zufallsvariablen $ [mm] X_1, X_2, [/mm] ... , [mm] X_n [/mm] $ lassen sich die zugehörigen Ordnungsgrößen schreiben $ [mm] X_{(1)}, X_{(2)}, [/mm] ... , [mm] X_{(n)} [/mm] $. Sind die Verteilungsfunktionen $ [mm] F_{X_{(i)}} [/mm] $ von $ [mm] X_i [/mm] $ gegeben und sind $ [mm] X_1, X_2, [/mm] ... , [mm] X_n [/mm] $ stochastisch unabhängig, so ist $ [mm] F_{X_{(1)}} [/mm] = [mm] P(\min{[X_1, X_2, ... , X_n]} \le [/mm] x) = 1- [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1-F_{X_{(i)}}(x)) [/mm] $
d.h.
$ [mm] F_{X_{(1)}} [/mm] =1- [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1-(1-e^{- \lambda x_i})) [/mm] =1- [mm] \produkt_{i=1}^{n}(e^{- \lambda x_i})$
[/mm]
und auf Grund der Unabhängigkeit
$ [mm] F_{X_{(1)}}=1-(e^{- \lambda x})^n=1-e^{- n \lambda x} [/mm] $ für $ x [mm] \ge [/mm] 0 $
d.h.
$ Y= - [mm] \bruch{1}{\lambda} \ln U_{(1)} [/mm] $ ist Weibull-verteilt mit $ b=n [mm] \lambda [/mm] >0 $ und $p=1>0$.
Es wäre nett, wenn jemand meine Ergebnisse kontrollieren bzw. verbessern könnte!
Grüße
Andy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Di 20.03.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://www.ms.uky.edu/~viele/sta531f01/rvfuncs/rvfuncs.html