Dicht, T_2 Raum wozu, Netze < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Di 29.09.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | In der Vorlesung hatten wir den Satz:
Sei (X, [mm] \mathcal{O}) [/mm] ein Topologischer Raum und A [mm] \subseteq [/mm] X dicht und f,g: [mm] X\rightarrow [/mm] Y stetige Abbildungen in einen [mm] T_2 [/mm] Raum. Stimmen f und g auf A überein, dann gilt schon f=g.
Meine Frage:
Wozu braucht man die [mm] T_2 [/mm] (Hausdorff) Eigenschaft in Y? |
Der Beweis in der Vorlesung verwendet die [mm] T_2 [/mm] Eigenschaft. Indem indirekt angenommen wird, dass [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X: f(x) [mm] \not= [/mm] g(x) und diese dann mittels [mm] T_2 [/mm] durch offene disjunkte Mengen U,V getrennt werden. Auf [mm] f^{-1} (U)\cap g^{-1}(V) [/mm] gilt dann [mm] f\not=g.Da [/mm] x [mm] \in f^{-1}(U) \cap g^{-1}(V) [/mm] und [mm] f^{-1}(U) \cap g^{-1}(V) [/mm] offen ist, ist [mm] f^{-1}(U) \cap g^{-1}(V) [/mm] eien Umgebung um x. Die Gleichung A [mm] \cap (f^{-1}(U)\cap g^{-1} [/mm] (V))= [mm] \emptyset [/mm] ergibt dann einen Widerspruch zu [mm] \overline{A}=X
[/mm]
Aber wie wäre es mit dem Beweis analog im MR mit Netzen?
f(A)=g(A) für A dicht in X,
d.h. X= [mm] \overline{A}, [/mm] d.h. [mm] \forall x\in [/mm] X: [mm] \forall [/mm] U [mm] \in U_x: [/mm] U [mm] \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Sei x [mm] \in [/mm] X beliebig aber fix.
Definiere Netz von der gerichtete Menge der Umgebungsbasen von x ausgehend:
[mm] \{\mathcal{V}_x, \le \} [/mm] mit [mm] V_1, V_2 \in \mathcal{V}: V_1 \le V_2 \iff V_2 \subseteq V_1
[/mm]
Für jedes V [mm] \in \mathcal{V}_x [/mm] wählen wir ein beliebiges [mm] x_V \in [/mm] V [mm] \cap [/mm] A
Es gilt [mm] x_V \rightarrow [/mm] x
[mm] f(x)=f(\lim x_{v})=\lim f(x_v)=\lim g(x_v)=g(\lim x_{v})= [/mm] g(x)
2te und 4te Gleichheit verwendet die Stetigkeit via Netze.
3.te Gleichheit verwendet f(A)=g(A) für A.
Wozu also Y als [mm] T_2 [/mm] Raum auszeichnen?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Di 29.09.2015 | | Autor: | fred97 |
Du hast völlig recht, die Forderung "Y ist ein [mm] T_2 [/mm] - Raum" ist überflüssig.
Sei $(X, [mm] \mathcal{O}) [/mm] $ ein top. Raum und B eine Teilmenge von X. Dann hat man folgende Charakterisierung der abgeschlossenen Hülle von B:
b [mm] \in \overline{B} [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
es ex. ein Netz [mm] (b_i)_{i \in I} [/mm] in B mit [mm] b_i \to [/mm] b.
Zu Deinem Beweis: Du brauchst nicht das von Dir konstruierte spezielle Netz !
Ist x [mm] \in X=\overline{A} [/mm] , so ex. also ein Netz [mm] (x_i)_{i \in I} [/mm] in A mit [mm] x_i \to [/mm] x.
Wegen [mm] f(x_i)=g(x_i) [/mm] für alle i [mm] \in [/mm] I und der Stetigkeit von f und g im Punkt x folgt f(x)=g(x).
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Di 29.09.2015 | | Autor: | sissile |
Der Beweis ist ja noch besser und schneller.
Vielen Dank,
sissi
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