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| Aufgabe | Seien K ein Körper mit 1 [mm] \pm [/mm] 1 [mm] \not= [/mm] 0 und sei
A = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2} \in \M_{3} [/mm] (K).
Man bestimme eine Matrix Q [mm] \in \GL_{3} [/mm] (K) derart, dass [mm] Q^{T}AQ [/mm] eine Diagonalmatrix ist. |
Nun denke ich, dass man diese Aufgabe mit der Einheitsmatirx lösen kann, aber da die erste und letzte Zeile gleich ist, hat man ja nur 2 kreuz drei Matrix, deshalb weiß ich nicht, was ichh hier machen soll?
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Hallo looney_tune,
> Seien K ein Körper mit 1 [mm]\pm[/mm] 1 [mm]\not=[/mm] 0 und sei
> A = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2} \in M_{3}(K).
[/mm]
>
> Man bestimme eine Matrix [mm] Q\in GL_{3}(K) [/mm] derart, dass
> [mm]Q^{T}AQ[/mm] eine Diagonalmatrix ist.
> Nun denke ich, dass man diese Aufgabe mit der
> Einheitsmatirx lösen kann, aber da die erste und letzte
> Zeile gleich ist, hat man ja nur 2 kreuz drei Matrix,
> deshalb weiß ich nicht, was ichh hier machen soll?
Du denkst in die falsche Richtung.
Beim Bestimmen der Diagonalmatrix:
1) Eigenwerte bestimmen (dazu Nullstellen des charakterisches Polynom [mm] \det(X*E_3-A) [/mm] bestimmen)
2) jeweils Basis der Eigenräume zu den Eigenwerte bestimmen
3) Anzahl Basiselemente = 3 [mm] \Rightarrow [/mm] Matrix ist diagbar. Die diagonalisierende Matrix hat als Spalten die gefunden Basiselemente der Eigenräume
Gruß
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also die Eigenwerte habe ich berechnet das sind 0, 2 und 4. Dazu habe ich auch die Eigenvektoren gebildet und diese Schritte die du genannt hast gemacht. Dann habe ich für
Q = [mm] \pmat{ - 1/2 & 0 & 1/2\\ 0 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1/2 } [/mm] und meine Diagonalmatrix ist [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 4 }.
[/mm]
Mein Problem wäre aber, hier ist noch eine Aufgabenstellung undzwar:
Angenommen K = R. Man bestimme eine orthogonale Matrix Q [mm] \in \O_{3} [/mm] (R) derart, dass [mm] Q^{T} [/mm] AQ eine Diagonalmatrix ist.
Was ist denn jetzt bei dieser Aufgabe anders, als bei dem ersten Teil ?
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> also die Eigenwerte habe ich berechnet das sind 0, 2 und 4.
> Dazu habe ich auch die Eigenvektoren gebildet und diese
> Schritte die du genannt hast gemacht. Dann habe ich für
> Q = [mm]\pmat{ - 1/2 & 0 & 1/2\\ 0 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1/2 }[/mm]
Vom Prinzip richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Erweitere ersten und dritten Vektoren aber noch mit 2 (das umgeht die Frage, was der Ausdruck 1/2 in K ist):
Q = [mm]\pmat{ - 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
> und meine Diagonalmatrix ist [mm]\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 4 }.[/mm]
Nein, die Diagonalmatrix wäre dann [mm] \pmat{ 0&0&0\\0&2 & 0 \\ 0&0 & 4 }
[/mm]
> Mein
> Problem wäre aber, hier ist noch eine Aufgabenstellung
> undzwar:
>
> Angenommen K = R. Man bestimme eine orthogonale Matrix Q
> [mm]\in \O_{3}[/mm] (R) derart, dass [mm]Q^{T}[/mm] AQ eine Diagonalmatrix ist.
>
> Was ist denn jetzt bei dieser Aufgabe anders, als bei dem
> ersten Teil ?
Da hattest du womöglich das Gram-Schmidt Orthonormalisierungsverfahren in der Vorlesung, welches du nun auf die Basen der Eigenräume anwenden sollst.
Gruß
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ok vielen Dank :D also muss ich bei des Diagonalmatrix die Nullzeile auch mitschreiben, obwohl es eine Diagonalmatrix ist?
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