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Hallo Zusammen.
geg.: A:= [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }
[/mm]
ges.: Diagonalmatrix von A
Mein Ansatz wäre.
1. charakteristisches Polynom von A bestimmen.
2. Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmen
->erhält die Eigenwerte von A : [mm] \lambda_1=-1 [/mm] und [mm] \lambda_2=3
[/mm]
Wie geht die Aufgabe ab jetzt weiter?
Wie errechnet man die normierten Eigenwerte?
Wie bekommt man daraus die Diagonalmatrix hin?
Danke Euch im Voraus.
Gruß Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Mi 04.10.2006 | | Autor: | vicky |
Hallo,
habe mich gerade an deiner Aufgabe versucht und es sieht ziemlich gut aus. Der Ansatz den du geliefert hast ist richtig.
> 1. charakteristisches Polynom von A bestimmen.
>
> 2. Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmen
>
> ->erhält die Eigenwerte von A : [mm]\lambda_1=-1[/mm] und
> [mm]\lambda_2=3[/mm]
>
> Wie geht die Aufgabe ab jetzt weiter?
Nun mußt du die Eigenräume zu den Eigenwerten bestimmen. Dann wählst du Basen der Eigenräume, deren Vereinigung die Basis [mm] (v_{1},v_{2}) [/mm] ergibt. [mm] (v_{1},v_{2}) [/mm] soll gleich [mm] S^{-1} [/mm] sein und um dann die Diagonalmatrix zu bestimmen rechnest du [mm] SAS^{-1}. [/mm] Diese Matrix hat ausser auf der Diagonalen nur Nullen und die Werte auf der Diagonalen geben die von Dir bereits errechneten Eigenwerte 3, -1 wieder (aber das weißt du sicherlich).
Beste Grüße
vicky
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Hallo Zusammen, Vicky.
Vielen Dank nochmals.
Ab hier weiß ich nicht weiter:
> Nun mußt du die Eigenräume zu den Eigenwerten bestimmen.
Wie bestimmt man zu den beiden Eigenwerten die Eigenräume?
> Dann wählst du Basen der Eigenräume, deren Vereinigung die Basis
> ergibt.
Welches sind die Basen der Eigenräume?
1000 Dank!
Ahoi, Peter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Do 05.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Peter,
du must für beide Eigenwerte [mm] $\lambda$ [/mm] jeweils das Gleichungssystem:
[mm] $A*v=\lambda [/mm] *v$ nach v lösen, oder äquivalent: [mm] $(A-\lambda *E_2)*v=0$
[/mm]
(alles in der Klammer ist eine Matrix wobei [mm] E_2 [/mm] die zweidim. Einheitsmatrix sein soll)
Da du zwei versch. Eigenwerte hast, sind beide Eigenräume eindimensional - also ist jeder Eigenvektor eine Basis
Ein Beispiel und einen nützlichen Link zur Kontrolle deines Ergebnisses findest du in DIESEM Thread
viele grüße
DaMenge
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