Diagonalisierung - EV-Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hi
arbeite mich noch immer durch das Thema "Eigenwerte" und "Diagonaliserung". ich hab da eine frage, die vielleicht etwas "kleinkarriert" erscheint, aber in Mathe kommts ja immer auf Genauigkeit an ;)
Also, es gilt ja die Formel für Diagonalmatrizen $D = [mm] T^{-1}AT$. [/mm] Manchmal taucht die Formel allerdings auch als $D = [mm] TAT^{-1}$ [/mm] auf. Damit allein könnte ich noch leben, ist ja letztendlich nur eine Frage der Bezeichnung der Eigenvektormatrix. Aber manchmal schreibt man die Eigenvektoren als Spalten und $T$, manchmal als Spalten von [mm] $T^{-1}$. [/mm] Ich habe inzwischen alle möglichen Kombinationen von 'Formel' und 'Eigenvektormatrix' gesehen, und dahinter keine "Regelmäßigkeit" entdeckt. Ich frage mich daher
1. ist es egal, ob ich $D$ als [mm] $T^{-1}AT$ [/mm] oder als [mm] TAT^{-1}$ [/mm] schreibe? Das würde ich bejahen.
2. Ich denke allerdings, dass es entscheidend ist, ob ich - sobald für eine Gleichung entschieden - $T$ oder [mm] $T^{-1}$ [/mm] als meine Eigenvektormatrix bezeichne. Die Matrizenmultiplikation kommutiert im Allgemeinen ja nicht, daher kann ich mir nicht vorstellen dass es egal ist, ob in der Formel die erste oder die dritte Matrix die Eigenvektormatrix ist.
kann man da allgemein was zu sagen, wie "von links sollte man mit der EV-Matrix multiplizieren, von rechts mit der Inversen der EV-Matrix" bzw umgekehrt - die Bezeichnung wäre ja dann egal, denn wenn ich [mm] $T^{-1}$ [/mm] als EV-Matrix nehme, lautet die Inverse halt [mm] $(T^{-1})^{-1} [/mm] = T$.
ok, das war jetzt irgendwie durcheinander. Ich glaube kurz und knapp lautet meine Frage einfach:
Eigenvektormatrix von LINKS oder von RECHTS an $A$ heranmultiplizieren?
Vielen Dank für die Geduld 
Gruß GB
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Hallo GB,
> hi
> arbeite mich noch immer durch das Thema "Eigenwerte" und
> "Diagonaliserung". ich hab da eine frage, die vielleicht
> etwas "kleinkarriert" erscheint, aber in Mathe kommts ja
> immer auf Genauigkeit an ;)
>
> Also, es gilt ja die Formel für Diagonalmatrizen [mm]D = T^{-1}AT[/mm].
> Manchmal taucht die Formel allerdings auch als [mm]D = TAT^{-1}[/mm]
> auf. Damit allein könnte ich noch leben, ist ja
> letztendlich nur eine Frage der Bezeichnung der
> Eigenvektormatrix.
Das stimmt, wenn T invertierbar ist, so ist es ja [mm] $T^{-1}$ [/mm] auch.
Die übliche Definition der Ähnlichkeit zweier Matrizen $A, B$ ist ja:
$A, B$ ähnlich, falls eine invertierbare Matrix $P$ existiert mit [mm] $B=P^{-1}AP$
[/mm]
A diagonalisierbar heißt, dass $A$ ähnlich zu einer Diagonalmatrix D ist, die die Eigenwerte von A auf der Diagonalen hat.
Also ex. T invertierbar mit [mm] $D=T^{-1}AT$
[/mm]
Wobeí du mit der Bezeichnung [mm] $T^{-1}=\tilde{T}$ [/mm] auch schreiben kannst [mm] $D=\tilde{T}A\tilde{T}^{-1}$
[/mm]
> Aber manchmal schreibt man die
> Eigenvektoren als Spalten und [mm]T[/mm], manchmal als Spalten von
> [mm]T^{-1}[/mm]. Ich habe inzwischen alle möglichen Kombinationen
> von 'Formel' und 'Eigenvektormatrix' gesehen, und dahinter
> keine "Regelmäßigkeit" entdeckt. Ich frage mich daher
>
> 1. ist es egal, ob ich $D$ als [mm]$T^{-1}AT$[/mm] oder als
> [mm]TAT^{-1}$[/mm] schreibe? Das würde ich bejahen.
Ja, siehe oben, ist nur ne Bezeichnungssache, das hast du richtig erkannt
> 2. Ich denke allerdings, dass es entscheidend ist, ob ich
> - sobald für eine Gleichung entschieden - [mm]T[/mm] oder [mm]T^{-1}[/mm]
> als meine Eigenvektormatrix bezeichne. Die
> Matrizenmultiplikation kommutiert im Allgemeinen ja nicht,
> daher kann ich mir nicht vorstellen dass es egal ist, ob in
> der Formel die erste oder die dritte Matrix die
> Eigenvektormatrix ist.
die hintere ...
>
> kann man da allgemein was zu sagen, wie "von links sollte
> man mit der EV-Matrix multiplizieren, von rechts mit der
> Inversen der EV-Matrix" bzw umgekehrt - die Bezeichnung
> wäre ja dann egal, denn wenn ich [mm]T^{-1}[/mm] als EV-Matrix
> nehme, lautet die Inverse halt [mm](T^{-1})^{-1} = T[/mm].
>
> ok, das war jetzt irgendwie durcheinander. Ich glaube kurz
> und knapp lautet meine Frage einfach:
>
> Eigenvektormatrix von LINKS oder von RECHTS an [mm]A[/mm]
> heranmultiplizieren?
von rechts, linkerhand steht die Inverse der Matrix, die die EVen enthält.
Von daher ist die erste Bezeichungsweise intuitiver ...
>
> Vielen Dank für die Geduld
> Gruß GB
LG
schachuzipus
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