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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Di 23.09.2008 | | Autor: | Dr.Weber |
Hi kann mir jemand etwas zur Diagonalisierung von Matrizen sagen. wie sieht eine Matrix aus wenn sie symmetrisch und reell ist.
Wie müssen Eigenwerte aussehen wenn sie paarweiße verschieden sind.
Komm hier echt nicht weiter.
Gruß Dr.Weber
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Hallo Dr. Weber,
> Hi kann mir jemand etwas zur Diagonalisierung von Matrizen
> sagen.
Nun, eine (quadratische) Matrix $A$ ist diagonalisierbar, wenn es eine invertierbarer Matrix $T$ gibt mit [mm] $T^{-1}AT=D$, [/mm] wobei $D$ eine Diagonalmatrix ist, die die Eigenwerte von $A$ auf der Diagonalen stehen hat (und sonst nur Nullen als Einträge hat).
$A$ ist also diagonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist
Kriterien für Diagonalisierbarkeit habt ihr bestimmt in der VL gehabt, ich werfe mal einige Stichworte ein: charakteristisches Polynom, Zusammenhang zwischen algebraischer und geometrischer Vielfachheit.. [mm] $\leftarrow$ nachschlagen !!
> wie sieht eine Matrix aus wenn sie symmetrisch und reell ist.
Eine (quadratische) Matrix $A$ ist symmetrisch, falls $A=A^T$ ist, falls $A$ also mit ihrer transponierten Matrix übereinstimmt.
Die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind stets reell.
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
> Wie müssen Eigenwerte aussehen wenn sie paarweiße
> verschieden sind.
manchmal gibt's auch schwarze ... ;-)
"paarwei[u]s[/u]e verschieden" bedeutet, dass je 2 verschieden sind, dh. hast du $\lambda_1,\lambda_2,....,\lambda_n$ als Eigenwerte, so bedeutet paarweise verschieden, dass $\lambda_i\neq\lambda_j$ für $i\neq j$ (i,j=1,...,n)
> Komm hier echt nicht weiter.
> Gruß Dr.Weber
LG
schachuzipus
[/mm]
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