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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Fr 04.04.2014 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe 1 | | Sei C := [mm] \pmat{ 4 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 1 & 1 & 2}. [/mm] Ist C diagonalisierbar? Falls ja, bestimme P so, dass P^-1 * C * P eine Diagonalmatrix ist. |
| Aufgabe 2 | | Sei n eine natürliche Zahl. Man gebe eine Formel für [mm] C^n [/mm] an! |
Hi!
Im groben weiß ich, wie ich hier vorgehen muss!
Ich stecke nur beim berechnen der Eigenwerte :P
Wenn ich die Determinanten nach Laplace entwickle, komm ich auf eine kubische Gleichung der Form −λ^3+11*λ^2−39*λ+45
Wie komme ich nun
1. auf die Eigenwerte? (sind laut Rechner [mm] \lambda_1 [/mm] = 3 und [mm] \lambda_2 [/mm] = 5)
2. auf die algebraischen Vielfachheiten?
Ich könnte hier durch probieren einen Eigenwert herausbekommen und mithilfe von Polynomdivision den zweiten erhalten! Aber anscheinend geht es auch einfacher, nur weiß ich leider nicht wie :P
Vlt kann mir hier einer von euch weiterhelfen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Fr 04.04.2014 | | Autor: | mister_xyz |
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/mathekurse.htm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Fr 04.04.2014 | | Autor: | mister_xyz |
wenn man das charakteristische Polynom hat, geht das Ausprobieren i.a. sehr systematisch: es ist sehr oft ein natürlicher Teiler des letzten Teils des Polynoms (bei dir glaube ich 45): also sind die Nullstellen oft die natürlichen Teiler von 45: also [mm] \pm [/mm] 1 bzw. [mm] \pm [/mm] 3 bzw. [mm] \pm [/mm] 5 bzw. [mm] \pm [/mm] 15
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Fr 04.04.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Danke für den Link! :)
Aber es gibt ja trotzdem eine art der determinantenentwicklung, so dass ich auf eine darstellung alla [mm] (x^1 [/mm] - [mm] \lambda)^m1*(x^2 [/mm] - [mm] \lambda)^m2*... [/mm] komme!
Oder wie lese ich von einer kubischne gleichung die algebraische Vielfachheit ab?
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ich weiß jetzt eigentlich nicht, wo jetzt noch das Problem liegt: das charakteristische Polynom ist ja die Determinante aus [mm] A-\Lambda*Einheitsmatrix, [/mm] da bekommst du IMMER ein noch nicht in Nullstellen zerstückeltes Polynom heraus. Dann kommt die mühsame Arbeit das in Nullstellen aufzudröseln (wie das geht habe ich dir schon erklärt: Nullstelle ist i.a. oft ein natürlicher Teiler des letzten Teils des Polynoms, wo also kein x mehr vorkommt, bzw. anders gesagt [mm] x^0). [/mm] Es folgt i.a. Polynomdivision. Irgendwann steht das Polynom in Linearfaktoren da. Sind die Linearfaktoren paarweise verschieden (also immer nur die Potenz 1), ist die Matrix auf jeden Fall diagonalisierbar. Ist die Potenz >1 (die Potenzen des Eigenwertes in dem Polynom symbolisieren immer die ALGEBRAISCHE Vielfachheit des entsprechenden Eigenwertes), den entsprechenden Eigenwert einfach in [mm] A-\Lambda*Einheitsmatrix [/mm] einsetzen und schauen wie groß der Kern ist, also Anzahl der Nullzeilen, bzw. Spalten (nach elementarer Umformung). Ist der Kern (symbolisiert die GEOMETRISCHE Vielfachheit) genauso groß wie die entsprechende Potenz im charakteristischen Polynom (für DIESEN Eigenwert), dann ist für DIESEN Eigenwert die geometrische gleich der algebraischen Vielfachheit. Und genau dann, wenn das für ALLE Eigenwerte zutrifft, ist die Matrix diagonalisierbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Fr 04.04.2014 | | Autor: | mister_xyz |
die einzige Art und Weise, wie ein charakteristisches Polynom SOFORT in Linearfaktoren aufgedröselt dasteht, ist, wenn die Matrix eine obere, oder eine untere Dreiecksmatrix ist.....ansonsten mußt du IMMER aufdröseln....da geht kein Weg dran vorbei.
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Hallo,
du kannst immer durch geschickte Umformungen die Matrix verändern ohne den Wert der Determinante zu verändern.
So kannst du versuchen eine obere (untere) Stufenform herzustellen um dann Laplace anzuwenden. Das macht sich, weil du ja dann lediglich einen term hast.
Schau dir dazu auch mal folgendes PDF an:
www-m10.ma.tum.de/foswiki/pub/Lehre/LinAlgInSS07/la11P.pdf
meiner meinung nach lohnt sich dieses Verfahren aber eher weniger. Denn die WSK, dass du dich verrechnest bei den Umformungen sind gewaltig. Da sind Vorzeichenfehler einprogrammiert. Dann lieber wirklich die Determinante auswerten und versuchen auf eine Nullstelle durch "Raten" zu finden.
Beste Grüße
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