Diagonalisierbarkeit < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Vilietha |
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und [mm] \phi \in [/mm] End(v) mit [mm] \phi^3=\phi.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \phi [/mm] diagonalisierbar ist. |
Hallo zusammen,
Meine Idee war, dass man dies durch Wiederspruch beweisen kann, indem man das Konzept Hauptverktoren verwendet.
Angenommen, [mm] \phi [/mm] ist nicht diagonalisierbar. Dann gibt es einen Hauptvektor v [mm] \in [/mm] V mit der Stufe größer als eins. Wenn nur [mm] \phi [/mm] auf diesen Hauptvektor angewendet wird, entsteht ja ein Vektor welcher linear unabhängig von v ist.
Mit fehlt jedoch noch der entscheidende Gedanke, um den Beweis zu beenden.
Ich freue mich auf Eure Antworten,
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 So 20.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich nehme an, V ist ein Vektorraum über [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC.
[/mm]
Aus $ [mm] \phi^3=\phi [/mm] $ folgt $ [mm] \phi^3-\phi=0 [/mm] $, also
[mm] $\phi(\phi-I)(\phi+I)=0$ [/mm] (I= Id. auf V)
Zeige
1. ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von [mm] \phi [/mm] , so ist [mm] $\lambda \in \{0,1,-1 \}$
[/mm]
2. $V= [mm] kern(\phi) \oplus kern(\phi-I)\oplus kern(\phi+I) [/mm] $
Genügt das ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Fred,
vielen Dank für deine Antwort.
Ja, ich denke, dein Tipp wird mir reichen, um die Behauptung zu zeigen.
Viele Grüße,
Vilietha
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