Diagonalisierbarkeit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei
[mm] A_{a,b} [/mm] = [mm] \pmat{ a & -b & 0 & 2a \\ 0 & b & 0 &0\\2&1&b&2\\-a&2&0&-a }
[/mm]
eine 4 x4-matrix mit a,b [mm] \in \IR [/mm] .
Bestimmen Sie alle Paare (a,b) , für die [mm] A_{a,b} [/mm] diagonalisierbar ist, d.h. für die eine Matrix S [mm] \in \IR^{4x4} [/mm] existiert, so dass
[mm] S^{-1}A_{a,b}S [/mm] Diagonalgestalt hat. Geben Sie für jedes (a,b) eine passende Transformationsmatrix an. |
Hey,
gut, ich weiß, dass die Matrix nur diagonalis. ist wenn algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit ist. Ich hätte dafür nur den Ansatz über das charakt. Polynom bestimme.
[mm] P_{A} [/mm] = [mm] det(A-\lambda [/mm] I) = det [mm] \pmat{ a-\lambda & -b & 0 & 2a \\ 0 & b-\lambda& 0 &0\\2&1&b-\lambda&2\\-a&2&0&-a-\lambda }
[/mm]
mit Entwicklungssatz nach der 3 Spalte => [mm] (b-\lambda)*det \pmat{ a-\lambda & -b & 2a \\ 0 & b-\lambda &0\\-a&2&-a-\lambda }
[/mm]
noch mal Entwick.S nach der 2 Zeile: [mm] (b-\lambda)(b-\lambda)*det\pmat{ a-\lambda & 2a \\-a&-a-\lambda }
[/mm]
somt ist [mm] P_{A} [/mm] = [mm] (b-\lambda)^{2}( (a-\lambda)(-a-\lambda) [/mm] - 2a*a)
[mm] =(b-\lambda)^{2} (\lambda^{2} [/mm] + [mm] a^{2} [/mm] )
Die erste Nullstelle ist ja eine doppelte Nullstelle und lautet b, was ich aber mit der zweiten Klammer anfangen soll weiß ich nicht?
Hoffe jemand weiß weiter, oder kann mich auf meine Fehler hinweisen.
Danke und Gruß
Snafu
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> Es sei
> [mm]A_{a,b}[/mm] = [mm]\pmat{ a & -b & 0 & 2a \\ 0 & b & 0 &0\\2&1&b&2\\-a&2&0&-a }[/mm]
>
> eine 4 x4-matrix mit a,b [mm]\in \IR[/mm] .
> Bestimmen Sie alle Paare (a,b) , für die [mm]A_{a,b}[/mm]
> diagonalisierbar ist, d.h. für die eine Matrix S [mm]\in \IR^{4x4}[/mm]
> existiert, so dass
> [mm]S^{-1}A_{a,b}S[/mm] Diagonalgestalt hat. Geben Sie für jedes
> (a,b) eine passende Transformationsmatrix an.
> Hey,
>
> gut, ich weiß, dass die Matrix nur diagonalis. ist wenn
> algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen
> Vielfachheit ist. Ich hätte dafür nur den Ansatz über
> das charakt. Polynom bestimme.
> [mm]P_{A}[/mm] = [mm]det(A-\lambda[/mm] I) = det [mm]\pmat{ a-\lambda & -b & 0 & 2a \\ 0 & b-\lambda& 0 &0\\2&1&b-\lambda&2\\-a&2&0&-a-\lambda }[/mm]
>
> mit Entwicklungssatz nach der 3 Spalte => [mm](b-\lambda)*det \pmat{ a-\lambda & -b & 2a \\ 0 & b-\lambda &0\\-a&2&-a-\lambda }[/mm]
>
> noch mal Entwick.S nach der 2 Zeile:
> [mm](b-\lambda)(b-\lambda)*det\pmat{ a-\lambda & 2a \\-a&-a-\lambda }[/mm]
>
> somt ist [mm]P_{A}[/mm] = [mm](b-\lambda)^{2}( (a-\lambda)(-a-\lambda)[/mm] -
> 2a*a)
> [mm]=(b-\lambda)^{2} (\lambda^{2}[/mm] + [mm]a^{2}[/mm] )
>
> Die erste Nullstelle ist ja eine doppelte Nullstelle und
> lautet b, was ich aber mit der zweiten Klammer anfangen
> soll weiß ich nicht?
Hallo,
in den weitaus meisten Fällen wird es neben der doppelten Nullstelle [mm] \lambda=b [/mm] keine weitere Nullstelle mehr geben, und in diesen Fällen kann man die Diagonalisierbarkeit gleich mal knicken. (Glück für Dich: weniger Arbeit...)
Es sei denn, a= ???.
Gruß v. Angela
> Hoffe jemand weiß weiter, oder kann mich auf meine Fehler
> hinweisen.
>
> Danke und Gruß
> Snafu
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Hey,
ja stimmt die Summe der geo. Vielfachheiten muss ja auch 4 ergeben, denn soweit ich das erkennen kann ist der Rang von A 4, weiß ja heißt das der Raum von 4 Vektoren aufgespannt wird. Das heißt doch dass wenn ich eine Diagonalmatrix haben will brauche ich ein [mm] \lamba_{2} [/mm] das eine doppelte Nullstelle ist. Ich hab nicht den leisesten Schimmer wie ich zwei Quadrate zu Null addieren lassen kann?
Snafu
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> Hey,
>
> ja stimmt die Summe der geo. Vielfachheiten muss ja auch 4
> ergeben,
Hallo,
ja.
> denn soweit ich das erkennen kann ist der Rang von A 4,
Das hat mit dem Rang nichts zu tun. A ist eine 4x4-Matrix, also benötigt man im Falle der Diagonalisierbarkeit 4 linear unabhängige Eigenvektoren.
Der Rang der Matrix spielt hierfür keine Rolle.
(Wenn die Matrix nicht vollen Rang hat, dann weiß man, daß die 0 Eigenwert der Matrix ist.)
> weiß ja heißt das der Raum von 4 Vektoren
> aufgespannt wird. Das heißt doch dass wenn ich eine
> Diagonalmatrix haben will brauche ich ein [mm]\lambda_{2}[/mm] das
> eine doppelte Nullstelle ist. Ich hab nicht den leisesten
> Schimmer wie ich zwei Quadrate zu Null addieren lassen
> kann?
Du brauchst, daß [mm] (\lambda^2+a^2) [/mm] eine Nullstelle hat, und das ist der Fall für a=0.
Gruß v. Angela
>
> Snafu
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HI,
also hat diese Matrix auch nicht den vollen Rang, da ja durch a=0 ich eine doppelte Nullstelle bei [mm] \lamba [/mm] = 0 bekommen und somit einen EW von 0.
[mm] (b-\lambda)^{²})(\lambda^{2} [/mm] + 0 ) = [mm] (b-\lambda)^{²})\lambda^{2}
[/mm]
??
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> HI,
> also hat diese Matrix auch nicht den vollen Rang, da ja
> durch a=0 ich eine doppelte Nullstelle bei [mm]\lamba[/mm] = 0
> bekommen und somit einen EW von 0.
Hallo,
das ist richtig, aber es ist die Frage nach dem Rang von A für die Frage nach der Diagonalisierbarkeit völlig unerheblich.
> [mm](b-\lambda)^{²})(\lambda^{2}[/mm] + 0 ) =
> [mm](b-\lambda)^{²})\lambda^{2}[/mm]
Ja. Nur wenn das charakteristische Polynom so aussieht, kann die matrix diagonalisierbar sein.
Ob sie es nun auch für jedes b ist, mußt Du noch herausfinden.
Gruß v. Angela
> ??
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Hey,
ok ich also die EW b und 0.
Dann muss ich als nächstes die Eigenräume von den EW bestimmen um auf die Eigenvektoren zu kommen.
E(b) = Kern(A-bI) = [mm] \pmat{a-b& -b&0&2a \\0&0&0&0\\2&1&0&2\\-a&2&0&-a-b }
[/mm]
wegen a=0 folgt:
Kern(A-bI) = [mm] \pmat{-b& -b&0&0 \\0&0&0&0\\2&1&0&2\\0&2&0&-b } [/mm]
[mm] =\pmat{0& -b&-b&0 \\0&1&2&2\\0&2&0&-b\\0&0&0&0 } [/mm]
Hier finde ich aber nur eine nicht triviale Lsg. [mm] x_{h} [/mm] = [mm] \vektor{k \\ 1\\-1\\0.5} [/mm] , [mm] k\in \IR [/mm] und b = -4 ... d.h. die geom. Vielfachheit wäre 1 und nicht 2 wie benötigt?
Snafu
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> Hey,
>
> ok ich also die EW b und 0.
> Dann muss ich als nächstes die Eigenräume von den EW
> bestimmen um auf die Eigenvektoren zu kommen.
> E(b) = Kern(A-bI) = [mm]\pmat{a-b& -b&0&2a \\0&0&0&0\\2&1&0&2\\-a&2&0&-a-b }[/mm]
>
> wegen a=0 folgt:
> Kern(A-bI) = [mm]\pmat{-b& -b&0&0 \\0&0&0&0\\2&1&0&2\\0&2&0&-b }[/mm]
> [mm]=\pmat{0& -b&-b&0 \\0&1&2&2\\0&2&0&-b\\0&0&0&0 }[/mm]
Hallo,
bring die matrix auf ZSF, bevor Du irgendwelche Lösungen suchst.
>
> Hier finde ich aber nur eine nicht triviale Lsg. [mm]x_{h}[/mm] =
> [mm]\vektor{k \\ 1\\-1\\0.5}[/mm] , [mm]k\in \IR[/mm] und b = -4 ...
???
Hier verstehe ich weder den Lösungsvektor noch das, was Du mit b=-4 sagen möchtest.
Du mußt die Sache systematisch angehen. Das Glück liegt in der ZSF.
Falls Du auf dem Weg zur ZSF durch b dividierst, mußt Du schreiben [mm] "b\not=0", [/mm] was zur Folge hat, daß der Fall b=0 gesondert zu untersuchen ist.
Gruß v. Angela
> d.h. die
> geom. Vielfachheit wäre 1 und nicht 2 wie benötigt?
>
> Snafu
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Hi,
das ZFS ist doch eine obere Dreiecksmatrix, stimmts?
Snafu
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> Hi,
>
> das ZFS ist doch eine obere Dreiecksmatrix, stimmts?
Hallo,
![[]](/images/popup.gif) da steht, was die Zeilenstufenform ist.
Vielleicht heißt sie bei Euch anders, Treppenform, Staffelform oder was weiß ich.
Jedenfalls muß man die können, weil man so viel daraus ablesen kann.
Gruß v. Angela
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Hi,
ok also fange ich erst an mit dem Kern(A-bI) = [mm] Kern\pmat{ -b&-b&0&0\\0&0&0&0\\2&1&0&2\\0&2&0&-b } [/mm] ,die a's sind alle weg, weil wir ja a =0 gesetzt haben.
Nun bringen ich Die Matrix durch Spalten- und Zeilen- tausch erst mal auf diese Matrix :
[mm] Kern\pmat{ 0&1&2&2\\0&2&0&-b\\0&-b&-b&0\\0&0&0&0} [/mm]
Nun kriege ich das ZFS :
[mm] Kern\pmat{ 0&1&2&2\\0&0&-4&(-b-4)\\0&0&0&(b-\bruch{b}{4})\\0&0&0&0 } [/mm]
Hier schon mal ne Zwischenfrage:
Hier sehe ich doch schon dass, entweder [mm] (b-\bruch{b}{4}) [/mm] = 0 sein muss oder [mm] x_{4} [/mm] , so oder so habe ich doch eine eindeutige Lösung meine LGS, und das würde doch heißen, dass
dieser Eigenraum die Dim. 1 hat. Jetzt habe ich aber ein Problem weil b eine doppelte Nullstelle ist und somit die geo. Vielfachheit 2 sein soll damit A diagonalisiert bar ist. Ich sehe aber keine Möglichkeit b so zu wählen dass der Eigenraum die Dimension 2 hätte.
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> Hi,
>
> ok also fange ich erst an mit dem Kern(A-bI) = [mm]Kern\pmat{ -b&-b&0&0\\0&0&0&0\\2&1&0&2\\0&2&0&-b }[/mm]
> ,die a's sind alle weg, weil wir ja a =0 gesetzt haben.
> Nun bringen ich Die Matrix durch Spalten-
Hallo,
nein! Spaltentausch hat beim Lösen von LGS (und etwas anderes ist die Kernbestimmung ja nicht) nichts zu suchen - es sei denn, Du treibst noch zusätzlichen Aufwand, dessen Beschreibung ich mir erspare.
Bring Deine Matrizen per Zeilenumformung auf ZSF, so legst Du Dir keine Eier, die Du dann nicht ausbrüten kannst.
Damit#s hier mal vorwärts geht, mache ich jetzt gerade mal die ZSF selbst:
$ [mm] \pmat{ -b&-b&0&0\\0&0&0&0\\2&1&0&2\\0&2&0&-b } [/mm] $ --> $ [mm] \pmat{ 2&1&0&2\\ -b&-b&0&0\\0&2&0&-b \\0&0&0&0} [/mm] $
1.Fall: b=0 - den kannst Du allein machen
2. Fall: [mm] b\not=0
[/mm]
--> $ [mm] \pmat{ 2&1&0&2\\ 1&1&0&0\\0&2&0&-b \\0&0&0&0} [/mm] $ --> $ [mm] \pmat{ 2&1&0&2\\ 0&1&0&-2\\0&2&0&-b \\0&0&0&0} [/mm] $ --> $ [mm] \pmat{ 2&1&0&2\\ 0&1&0&-2\\0&0&0&-b +4\\0&0&0&0} [/mm] $
2.1.: [mm] b\not=4
[/mm]
Die Matrix hat den Rang ???, also hat der Kern die Dimension ???
2.2.: b=4
Die Matrix hat den Rang ???, also hat der Kern die Dimension ???
Gruß v. Angela
> und Zeilen-
> tausch erst mal auf diese Matrix :
> [mm]Kern\pmat{ 0&1&2&2\\0&2&0&-b\\0&-b&-b&0\\0&0&0&0}[/mm]
> Nun kriege ich das ZFS :
> [mm]Kern\pmat{ 0&1&2&2\\0&0&-4&(-b-4)\\0&0&0&(b-\bruch{b}{4})\\0&0&0&0 }[/mm]
> Hier schon mal ne Zwischenfrage:
> Hier sehe ich doch schon dass, entweder [mm](b-\bruch{b}{4})[/mm] =
> 0 sein muss oder [mm]x_{4}[/mm] , so oder so habe ich doch eine
> eindeutige Lösung meine LGS, und das würde doch heißen,
> dass
> dieser Eigenraum die Dim. 1 hat. Jetzt habe ich aber ein
> Problem weil b eine doppelte Nullstelle ist und somit die
> geo. Vielfachheit 2 sein soll damit A diagonalisiert bar
> ist. Ich sehe aber keine Möglichkeit b so zu wählen dass
> der Eigenraum die Dimension 2 hätte.
>
>
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Hi,
ok keine Spaltentausch bei ZFS.
1.Fall: b=0 : [mm] \pmat{ 2 & 1&0&2 \\ 0 & 2&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0 } [/mm] => Rang = 2 und nach Dimensionsformel dim Kern = 2 , was sind denn dann aber die zwei Vektoren, die den Kern aufspannen, ich sehe nur eine Lösung: => [mm] x_{2} [/mm] = 0 , setze [mm] x_{4} [/mm] = 1 , => [mm] x_{1} [/mm] = -1
2.Fall: b [mm] \not= [/mm] 0 :
2.1 : b =4 : => [mm] \pmat{ 2& 1&0&2 \\ 0&1&0&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0 } [/mm] => Rang = 2 und dim(Kern) = 2,
jedoch sehe ich auch hier immer nur eine Lösung,denn wähle ich [mm] x_{4} [/mm] so ist automatisch [mm] x_{2} [/mm] gewählt und dadurch auch [mm] x_{1}; x_{3} [/mm] ist freiwählbar.
2.2 : [mm] b\not= [/mm] 4: [mm] \pmat{ 2& 1&0&2 \\ 0&1&0&-2\\0&0&0&c\\0&0&0&0 } [/mm] , mit c = 4-b => Rang = 3 und dim Kern = 1
Snafu
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> Hi,
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> ok keine Spaltentausch bei ZFS.
> 1.Fall: b=0 : [mm]\pmat{ 2 & 1&0&2 \\ 0 & 2&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0 }[/mm]
> => Rang = 2 und nach Dimensionsformel dim Kern = 2 , was
> sind denn dann aber die zwei Vektoren, die den Kern
> aufspannen, ich sehe nur eine Lösung: => [mm]x_{2}[/mm] = 0 , setze
> [mm]x_{4}[/mm] = 1 , => [mm]x_{1}[/mm] = -1
Hallo,
die führenden Zeilenelemente stehen in der 1. und 2. Spalte, daher kannst Du die 3. und 4. Variable frei wählen.
Mit [mm] x_4=s
[/mm]
[mm] x_3=t
[/mm]
erhältst Du
[mm] x_2=0 [/mm] und [mm] 2x_1=-x_2- 2x_4=-2s, [/mm] also
[mm] x_1=-s
[/mm]
somit haben die Lösungen die Gestalt
[mm] x=\vektor{-s\\0\\t\\s}=s*\vektor{-1\\0\\0\\1}+t*\vektor{0\\0\\1\\0},
[/mm]
und diese beiden Vektoren spannen den Eigenraum zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] 0 auf.
>
>
> 2.Fall: b [mm]\not=[/mm] 0 :
> 2.1 : b =4 : => [mm]\pmat{ 2& 1&0&2 \\ 0&1&0&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0 }[/mm]
> => Rang = 2 und dim(Kern) = 2,
> jedoch sehe ich auch hier immer nur eine Lösung,denn
> wähle ich [mm]x_{4}[/mm] so ist automatisch [mm]x_{2}[/mm] gewählt und
> dadurch auch [mm]x_{1}; x_{3}[/mm] ist freiwählbar.
Jetzt wirst Du wissen, wie es geht.
Gruß v. Angela
> 2.2 : [mm]b\not=[/mm] 4: [mm]\pmat{ 2& 1&0&2 \\ 0&1&0&-2\\0&0&0&c\\0&0&0&0 }[/mm]
> , mit c = 4-b => Rang = 3 und dim Kern = 1
>
> Snafu
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hi,
danke erstmal.
> Mit [mm] x_4=s [/mm]
> [mm] x_3=t [/mm]
> erhältst Du
> [mm] x_2=0 [/mm]
> [mm] x_1=-x_2- 2x_4=-2s, [/mm]
muss es hier nicht heißen [mm] 2x_1=-x_2- 2x_4=-s [/mm] ?
Snafu
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> hi,
> danke erstmal.
>
> > Mit [mm]x_4=s[/mm]
> > [mm]x_3=t[/mm]
>
> > erhältst Du
>
> > [mm]x_2=0[/mm]
> > [mm]x_1=-x_2- 2x_4=-2s,[/mm]
>
> muss es hier nicht heißen [mm]2x_1=-x_2- 2x_4=-s[/mm] ?
Hallo,
wir nähern uns spiralförmig der richtigen Lösung:
[mm] 2x_1=-x_2- 2x_4=-2s [/mm] ist richtig.
Ich hab's korrigiert im anderen Post.
Gruß v. Angela
>
> Snafu
>
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Hey,
ich verstehe. Somit hätten wir:
1. b = 0: Kern(E(0)) = spann{ [mm] \vektor{1 \\ 0\\0\\1} [/mm] , [mm] \vektor{0\\0\\1\\0} [/mm] }
2. b [mm] \not= [/mm] 0 :
2.1 b=4 : Kern(E(4)) = spann{ [mm] \vektor{-2 \\ 2\\0\\1} [/mm] , [mm] \vektor{0\\0\\1\\0} [/mm] }
2.2 [mm] b\not= [/mm] 4 : [mm] \pmat{ 2&1&0&2\\0&1&0&2\\0&0&0&c\\ 0&0&0&0 } [/mm] mit c =4-b
=> Rang =3 => Dim = 1 => für b [mm] \not= [/mm] 4 ist A nicht diagonalisierbar.
Jetzt soll ich als letztes noch S von D=S^-1AS angeben. Da ist dann doch die Wechselmatrix T die aus den Eingenvektoren besteht,oder?
Snafu
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hey,
>
> ich verstehe. Somit hätten wir:
> 1. b = 0: Kern(E(0)) = spann{ [mm]\vektor{1 \\ 0\\0\\1}[/mm] ,
> [mm]\vektor{0\\0\\1\\0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> 2. b [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 :
> 2.1 b=4 : Kern(E(4)) = spann{ [mm]\vektor{-2 \\ 2\\0\\1}[/mm] ,
> [mm]\vektor{0\\0\\1\\0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> 2.2 [mm]b\not=[/mm] 4 : [mm]\pmat{ 2&1&0&2\\0&1&0&2\\0&0&0&c\\ 0&0&0&0 }[/mm]
> mit c =4-b
> => Rang =3 => Dim = 1 => für b [mm]\not=[/mm] 4 ist A nicht
> diagonalisierbar.
>
>
> Jetzt soll ich als letztes noch S von D=S^-1AS angeben. Da
> ist dann doch die Wechselmatrix T die aus den
> Eingenvektoren besteht,oder?
Hallo,
ja, S ist die Matrix, die aus den Eigenvektoren besteht.
Gruß v.Angela
>
> Snafu
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Hallo,
jetzt haben wir aber doch denn Fall, dass Null ja schon von alleine eine doppelte Nullstelle vom Polynom ist. Wenn wir jetzt b auch gleich 0 setzten, haben wir doch eine vierfache Nullstelle, oder etwa nicht? D.h ich muss noch die Eigenvektoren finden für den EW 0 selbst?
Snafu
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> Hallo,
>
> jetzt haben wir aber doch denn Fall, dass Null ja schon von
> alleine eine doppelte Nullstelle vom Polynom ist. Wenn wir
> jetzt b auch gleich 0 setzten, haben wir doch eine
> vierfache Nullstelle, oder etwa nicht? D.h ich muss noch
> die Eigenvektoren finden für den EW 0 selbst?
Hallo,
was meinst Du mit "für den Eigenwert 0 selbst"?
Setze in der Ausgangsmatrix a=b=0, bestimme Eigenwerte und -räume dieser Matrix und beantworte Dir so Deine Frage.
Manchmal kann man sich nämlich auch an den eigenen Haaren aus dem Sumpf ziehen.
Gruß v. Angela
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Hi,
ich habe für das Polynom doch (b- [mm] \lambda)^2 [/mm] ( [mm] (\lambda)^2 [/mm] + [mm] a^2 [/mm] ) , jetzt muss a=0 sein damit haben wir: [mm] (b-\lambda)^2 \lambda^2
[/mm]
dieser Term sagt mir dann doch, dass ich ein EW bei b habe und bei 0, wegen [mm] \lambda^2; [/mm] beide mit der geo. Vielfachheit 2. Ich habe es so verstanden, dass wir eben die Eigenvektoer für den EW b bestimmt haben , dass sind dann für beide Fälle jeweils 2 vektoren, wie es sein muss. Jetzt muss ich aber doch noch die zwei Eigenvektoren für den EW 0 bestimmen; in dem ich Kern(A - 0I) ausrechne.
Kern( [mm] \pmat{ 0&-b&0&0 \\0&b&0&0 \\2&1&b&2\\0&2&0&0} [/mm] )
hier wende ich die zwei Fälle b=0 und b=4 an, und erhalte 2 Eigenvektoren von den EW 0 jeweils für eine Fallunterscheidung.
So müsste es doch stimmen.
Sorry
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> Hi,
>
> ich habe für das Polynom doch (b- [mm]\lambda)^2[/mm] ( [mm](\lambda)^2[/mm]
> + [mm]a^2[/mm] ) , jetzt muss a=0 sein damit haben wir:
> [mm](b-\lambda)^2 \lambda^2[/mm]
> dieser Term sagt mir dann doch,
> dass ich ein EW bei b habe und bei 0, wegen [mm]\lambda^2;[/mm]
> beide mit der geo. Vielfachheit 2.
Hallo,
nein, das, was Du abliest, ist die algebraische Vielfachheit.
Und wir stellen fest:
für [mm] b\not=0 [/mm] haben wir die Eigenwerte b und 0, jeweils mit der algebraischen Vielfachheit 2.
Für b=0 haben wir nur den Eigenwert 0 mit der algebraischen Vielfachheit 4.
Zu untersuchen sind nun die geometrischen Vielfachheiten, also die Dimensionen der Eigenräume.
> Ich habe es so
> verstanden, dass wir eben die Eigenvektoer für den EW b
> bestimmt haben , dass sind dann für beide Fälle jeweils 2
> vektoren, wie es sein muss.
Von welchen beiden Fällen redest Du jetzt?
Wenn Du sowas wirklich konkret ausformulierst, dann hilfst Du vor allem auch Dir.
Du hattest berechnet
- für [mm] b\not= [/mm] 0, 4
Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert b ist =1.
Damit scheidet Diagonalisierbarkeit für diesen Fall aus.
- für b=4
Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert 4 ist =2.
- für b=0
???
> Jetzt muss ich aber doch noch
> die zwei Eigenvektoren für den EW 0 bestimmen; in dem ich
> Kern(A - 0I) ausrechne.
Ja.
> Kern( [mm]\pmat{ 0&-b&0&0 \\0&b&0&0 \\2&1&b&2\\0&2&0&0}[/mm] )
> hier wende ich die zwei Fälle b=0 und b=4 an, und erhalte
> 2 Eigenvektoren von den EW 0 jeweils für eine
> Fallunterscheidung.
Für den Fall b=4 stimmt das.
Auf das, was ich Dir zuvor zum Thema b=0 schrieb, bist Du leider überhaupt nicht eingegangen.
In diesem Fall hast Du doch gar nicht zwei verschiedene Eigenwerte, und mir ist nicht ganz klar geworden ob Dir das klar ist mit seinen Konsequenzen.
Gruß v. Angela
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Hi,
wenn ich das jetzt alles verstanden habe, haben wir nur zwei relevanten Fälle:
- b = 0: es gibt nur den EW 0 mit der algebraischen Vielfachheit 4
- b = 4: es gibt die EW b und 0 die beide die algebraische Vielfachheit 4 besitzen
[mm] b\not= [/mm] 0 ist nicht relevant, weil damit keine Diagonalisierbarkeit möglich ist, weil die Dimension des Eigenraums 1 ist.
So, nun muss man die Eigenvektoren bestimmen:
- b = 4:
Hier haben wir vorher die Vektoren bestimmt über Kern(A-bI) für den EW b und, wie ich im letzten Post geschrieben habe, über Kern(A-0I) mit b=4 für den EW 0.
- b=0:
Hier muss man jetzt b=a=0 setzen und Kern(A-0I) berechenen :
Kern(A-0I) = Kern [mm] \pmat{ 2&1&0&2 \\ 0&2&0&0\\0&0&0&0 \\0&0&0&0}
[/mm]
Da der Rang dieser Matrix 2 ist und somit die Dimension der Eigenraums 2 sein wird, ist der Fall b=0 auch nicht relevant.
d.h. die Matrix A ist nur diagonalisierbar für b = 4 , a = 0. Dann hat die Matrix die EW 4 und 0 die beide eine algebraische und geometrische Vielfachheit von 2 besitzen.
Noch irgendwas falsch bis hierhin?
Snafu
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> Hi,
>
> wenn ich das jetzt alles verstanden habe, haben wir nur
> zwei relevanten Fälle:
> - b = 0: es gibt nur den EW 0 mit der algebraischen
> Vielfachheit 4
> - b = 4: es gibt die EW b und 0 die beide die algebraische
> Vielfachheit 4 besitzen
> [mm]b\not=[/mm] 0 [mm] \red{,4} [/mm] ist nicht relevant, weil damit keine
> Diagonalisierbarkeit möglich ist, weil die Dimension des
> Eigenraums 1 ist.
>
> So, nun muss man die Eigenvektoren bestimmen:
> - b = 4:
> Hier haben wir vorher die Vektoren bestimmt über
> Kern(A-bI) für den EW b und, wie ich im letzten Post
> geschrieben habe, über Kern(A-0I) mit b=4 für den EW 0.
>
> - b=0:
> Hier muss man jetzt b=a=0 setzen und Kern(A-0I) berechenen
> :
>
> Kern(A-0I) = Kern [mm]\pmat{ 2&1&0&2 \\ 0&2&0&0\\0&0&0&0 \\0&0&0&0}[/mm]
>
> Da der Rang dieser Matrix 2 ist und somit die Dimension der
> Eigenraums 2 sein wird, ist der Fall b=0 auch nicht
> relevant.
>
> d.h. die Matrix A ist nur diagonalisierbar für b = 4 , a =
> 0. Dann hat die Matrix die EW 4 und 0 die beide eine
> algebraische und geometrische Vielfachheit von 2 besitzen.
>
> Noch irgendwas falsch bis hierhin?
Hallo,
nein. Die Sache nimmt nun wirklich Formen an.
Gruß v. Angela
> Snafu
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Hi,
gut. Dann brauchen wir nur noch die Eigenvektoren für den Fall b = 4 zu bestimmen.
Die EV zu dem EW b = 4 kriegen wir wie folgt:
Kern(A - bI) = Kern [mm] \pmat{2&1&0&2\\ 0&1&0&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0 }
[/mm]
=> [mm] x_4 [/mm] = s [mm] ,x_3 [/mm] = t => [mm] x_2 [/mm] = 2s => [mm] x_1 [/mm] = -2s
=> Kern(A - bI) = spann{ [mm] \vektor{-2 \\ 2\\0\\1} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0\\1\\0} [/mm] }
Die EV für für den EW 0 bei dem Fall b=4 :
Kern (A -0I) = Kern [mm] \pmat{2&1&4&2\\ 0&4&0&2\\0&0&0&0\\0&0&0&0 }
[/mm]
=> Kern(A - 0I) = spann{ [mm] \vektor{-1\\ 0\\0\\1} [/mm] , [mm] \vektor{-2 \\ 0\\1\\0} [/mm] }
Somit wäre S , für welches gilt : D = S^-1 AS :
[mm] \pmat{ -2 & -1&-2&0 \\ 0&0&2&0\\1&0&0&1\\0&1&1&0 }
[/mm]
Spielt die Reihenfolge der Spaltenvektoren von S eine Rolle?
Snafu
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> Hi,
>
> gut. Dann brauchen wir nur noch die Eigenvektoren für den
> Fall b = 4 zu bestimmen.
> Die EV zu dem EW b = 4 kriegen wir wie folgt:
> Kern(A - bI) = Kern [mm]\pmat{2&1&0&2\\ 0&1&0&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0 }[/mm]
>
> => [mm]x_4[/mm] = s [mm],x_3[/mm] = t => [mm]x_2[/mm] = 2s => [mm]x_1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= -2s
> => Kern(A - bI) = spann{ [mm]\vektor{-2 \\ 2\\0\\1}[/mm] ,
> [mm]\vektor{0 \\ 0\\1\\0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Die EV für für den EW 0 bei dem Fall b=4 :
> Kern (A -0I) = Kern [mm]\pmat{2&1&4&2\\ 0&4&0&2\\0&0&0&0\\0&0&0&0 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> => Kern(A - 0I) = spann{ [mm]\vektor{-1\\ 0\\0\\1}[/mm] ,
> [mm]\vektor{-2 \\ 0\\1\\0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Somit wäre S , für welches gilt : D = S^-1 AS :
> [mm]\pmat{ -2 & -1&-2&0 \\ 0&0&2&0\\1&0&0&1\\0&1&1&0 }[/mm]
Hallo,
ich hab' jetzt gar nichts nachgerechnet, die Vorgehensweise hatten wir ja besprochen.
Du kannst selber kontrollieren, ob alles richtig ist, indem Du [mm] S^{-1} [/mm] noch berechnest und dann die Multiplikation der drei Matrizen mal ausführst.
Wenn die gewünschte Diagonalmatrix rauskommt, war alles richtig.
>
> Spielt die Reihenfolge der Spaltenvektoren von S eine
> Rolle?
Auch diese Frage könntest Du Dir experimentierend beantworten.
Von der Reihenfolge der Spalten hängt (natürlich) die Reihenfolge der Diagonalelemente ab.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 So 07.02.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Hi,
ok, das werd ich machen :) .
Ich bedanke mich sehr für die wirklich große Mühe mit mir.
So nachgerechnet, und es stimmt. Nochmals danke!!
Gruß Snafu
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