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Ich hab folgende Matrix A = [mm] \pmat{ -1 & 1 & 1 \\ -4 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -1} [/mm] .
Ich will rauskriegen ob sie diagonalisierbar ist.
Als char. Polynom hab ich (x+1)(x-1)² raus.
Ich will jetzt die Dimension des Eigenraums zum 2-fachen Eigenwert 1 ausrechnen.
Also dimension von kern(1E-A).
Also (1E-A)x=0.
Da bekomme ich als Lösung [mm] \vektor{a \\ 2a \\ 0}. [/mm] ( Bei x= [mm] \vektor{a \\ b \\c} [/mm] ).
Die Frage ist jetzt 1. ist das alles so richtig, und 2. was sagt mir die Lösung? Diagonalisierbar oder nicht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 So 16.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
erstmal finde ich es toll, dass du den formeleditor benutzt, so wird die sache sehr lesbar.
> Ich hab folgende Matrix A = [mm]\pmat{ -1 & 1 & 1 \\ -4 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -1}[/mm]
> .
> Ich will rauskriegen ob sie diagonalisierbar ist.
> Als char. Polynom hab ich (x+1)(x-1)² raus.
das sieht sehr gut us.
> Ich will jetzt die Dimension des Eigenraums zum 2-fachen
> Eigenwert 1 ausrechnen.
>
> Also dimension von kern(1E-A).
> Also (1E-A)x=0.
>
> Da bekomme ich als Lösung [mm]\vektor{a \\ 2a \\ 0}.[/mm] ( Bei x=
> [mm]\vektor{a \\ b \\c}[/mm] ).
das stimmt auch. du siehst jetzt, dass [m] \ker (1E-A) = a \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) [/m], also dass der kern und damit der eigenraum zum eigenwert $1$-dimensional ist, da er genau das vielfache eines vektors ist, also [m] \dim \textrm{Eig}_A(1) = \dim \ker (1E - A) = 1[/m]. damit ist aber die dimension des eigenraums kleiner als die algebraische vielfachheit des eigenwertse, die war nämlich $2$.
ihr hattet in der vorlesung vermutlisch einen satz, der besagt, das eine matrix genau dann diagonalisierbar ist, wenn zu jedem eigenwert die geometrische gleich der algebraische veilfachheit des eigenwertes ist (wenn also die vielfachheit der nullstelle im charakteristischen polynom gleich der dimension des eigenraums ist) und das ist ja hier nicht der fall, also ist $A$ nicht diagonalisierbar!
> Die Frage ist jetzt 1. ist das alles so richtig, und 2. was
> sagt mir die Lösung? Diagonalisierbar oder nicht?
wie gesagt: nein.
grüße
andreas
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