Diagonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Seien A,B (nxn) Marizen über R (quadratisch) und AB=BA und A hat n verschiedene Eigenwerte. Zz B ist diagonalisierbar.
Mein Ansatz: A ist diagonalisierbar und ich kan A als A = TXT^-1 schreiben, wobei X diagonal ist. Ich setze dies dann für A ein, bekomme es aber nicht hin, das B ähnlich zu X ist oder so
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Di 25.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Es seien [mm] $\lambda_i, i\in [/mm] [n]$ die verschiedenen Eigenwerte von $A$ und [mm] $0\neq v_i\in Eig_{\lambda_i}(A)$. [/mm] Dann ist [mm] $dim(Eig_{\lambda_i}(A))=1$ [/mm] für alle [mm] $i\in [/mm] [n]$. Sei nun [mm] $i\in [/mm] [n]$ beliebig gewählt. Nach Voraussetzung gilt $AB=BA$, also [mm] $(AB)(v_i)=(BA)(v_i)=\lambda_i B(v_i)$. [/mm] Daher ist [mm] $B(v_i)\in Eig_{\lambda_i}(A)$. [/mm] Da aber [mm] $dim(Eig_{\lambda_i}(A))=1$, [/mm] ist [mm] $Eig_{\lambda_i}(A)=\langle v_i\rangle$, [/mm] d.h. es existiert ein [mm] $\mu_i$ [/mm] mit [mm] $B(v_i)=\mu_i v_i$, [/mm] d.h. [mm] $v_i$ [/mm] ist Eigenvektor von $B$. Somit sind die [mm] $v_i$ [/mm] linear unabhängige Eigenvektoren von $B$; $B$ ist somit diagonalisierbar, was zu zeigen war.
Liebe Grüße,
Hanno
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