Diagonalisierbare Matrizen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 So 15.03.2009 | | Autor: | Phorkyas |
| Aufgabe | Für gegebenes [mm]A \in M_{n}(K)[/mm] ist die Menge [mm]\{ B \in M_{n}(K) ; AB = BA \}[/mm] ein mindestens eindimensionaler Unterraum von [mm] M_{n}(K). [/mm]
Zeigen Sie:
Ist A diagonalisierbar, so ist die Dimension mindestens n. |
Grüße
Bei obiger Frage habe ich Probleme die Diagonalisierbarkeit von A zu verwenden.
Könnte ich zeigen, dass aus [mm]AB=BA \Rightarrow S*D_{A}*S^{-1}*B=B*S*D_{A}*S^{-1} [/mm](wobei [mm]S^{-1} , S[/mm] die Diagonalisierungsmatrizen von A sind) folgt, so könnte ich den Beweis führen.
Dies gelingt mir aber nicht.
Danke für die Hilfe
Phorkyas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 So 15.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Die Matrix A lässt sich durch einen Basiswechsel diagonalisieren, d.h. es gibt [mm] $S\in [/mm] GL(n)$ so, dass [mm] $S^{-1}AS$ [/mm] Diagonalgestalt hat. Für eine beliebige Diagonalmatrix B ist dann [mm] $(S^{-1}AS)B=B(S^{-1}AS)$, [/mm] also [mm] $A(SBS^{-1})=(SBS^{-1})A$, [/mm] d.h. A kommutiert mit [mm] $SBS^{-1}$. [/mm] Das müsste dir eigentlich helfen.
Gruß, Robert
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