Diagonalisierbar, ähnlich < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix A = [mm] \pmat{ 3 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & 3} \in \IR^{3x3}
[/mm]
Zeigen Sie, dass A diagonalisierbar ist und finden sie die Matrizen P und D, so dass [mm] P^{-1}AP=D. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
in der ersten Teilaufgabe, sollten wir die Eigenwerte von A sowie die Basen der Eigenräume bestimmen.
Sind bei mir -1 (doppelt) und 8 als Eigenwert mit den Basen des Eigenraumes [mm] \vektor{-0,5\\1\\0}, \vektor{-1\\0\\1}, \vektor{1\\0,5\\1}. [/mm]
Die Diagonalisierbarkeit habe ich folgendermaßen gezeigt: Habe mir aus A eine lineare Abbildung F [mm] \in End_{K}(\IR^{3x3}) [/mm] konstruiert und überprüft, ob die drei Eigenvektoren eine Basis des [mm] \IR^{3x3} [/mm] sind. (Ist nach einem Satz in der Vorlesung äquivalent dazu, dass F - also auch A - diagonalisierbar ist. )
Muss ich dazu Linearität, Bijektivität beweisen oder sind lin. Abb., die in den gleichen Vektorraum abbilden, automatisch Endomorphismen?
Und wie komme ich auf die ähnliche Matrix.. mir fällt keine Systematik ein, um diese zu berechnen.
Danke im Voraus
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> Gegeben sei die Matrix A = [mm]\pmat{ 3 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & 3} \in \IR^{3x3}[/mm]
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> Zeigen Sie, dass A diagonalisierbar ist und finden sie die
> Matrizen P und D, so dass [mm]P^{-1}AP=D.[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> in der ersten Teilaufgabe, sollten wir die Eigenwerte von A
> sowie die Basen der Eigenräume bestimmen.
> Sind bei mir -1 (doppelt) und 8 als Eigenwert mit den Basen
> des Eigenraumes [mm]\vektor{-0,5\\1\\0}, \vektor{-1\\0\\1}, \vektor{1\\0,5\\1}.[/mm]
Hallo,
nachgerechnet habe ich da jetzt nichts. Vorausgesetzt, daß alles richtig gerechnet ist, ist P die Matrix, die diese Vektoren in den Spalten enthält und [mm] P^{-1} [/mm] ihre inverse.
Dann alles schön multiplizieren, herauskommen sollte eine Matrix, die auf der Hauptdiagonalen die Eigenwerte entsprechend ihrer Vielfachheit hat und ansonsten nur Nullen,
Gruß v. Angela
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> Die Diagonalisierbarkeit habe ich folgendermaßen gezeigt:
> Habe mir aus A eine lineare Abbildung F [mm]\in End_{K}(\IR^{3x3})[/mm]
> konstruiert und überprüft, ob die drei Eigenvektoren eine
> Basis des [mm]\IR^{3x3}[/mm] sind. (Ist nach einem Satz in der
> Vorlesung äquivalent dazu, dass F - also auch A -
> diagonalisierbar ist. )
>
> Muss ich dazu Linearität, Bijektivität beweisen oder sind
> lin. Abb., die in den gleichen Vektorraum abbilden,
> automatisch Endomorphismen?
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> Und wie komme ich auf die ähnliche Matrix.. mir fällt keine
> Systematik ein, um diese zu berechnen.
>
> Danke im Voraus
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Diese Lösung auch schon gefunden aber so steht sie nicht in unserem Script drin. Wenn ich nicht eine genaue Begründung dafür angebe, darf ich das auch nicht verwenden.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Vreni |
Hallo,
erstmal verstehe ich nicht ganz, warum du bei dieser Aufgabenstellung nicht einfach das P und das D, das du gefunden hast, und für die ja anscheinend (keine Rechenfehler deinerseits vorausgesetzt) gilt, dass [mm] P^{-1}AP=D.
[/mm]
Es steht ja nicht da:"... und begründen Sie, wieso diese Matrizen die gewünschte Eigenschaft besitzen"
Aber um deine Frage zu beantworten: Erstmal zum linken Teil der Formel, [mm] P^{-1}AP. [/mm] Das ist die Dasrtellung von A in der Eigenvektorbasis. P ist die Transformationsmatrix von der Standardbasis in die Eigenvektorbasis. Wenn man einen Vektor in der Eigenvektorbasis mit P (von links) multipliziert, erhält man seine Darstellung in der Standardbasis. In der Standardbasis wendet man dann A an, und um zurück in die Eigenvektorbasis zu kommen multipliziert man mit [mm] P^{-1}.
[/mm]
Warum ist das ganze jetzt eine Diagonalmatrix? [mm] P^{-1}AP [/mm] ist also die Darstellung von A in der Eigenvektorbasis.Und in der Eigenvektorbasis ist die Abbildung eine Diagonalmatrix, da sie ja nur die Länge der einzelnen Komponenten verändert, aber die Komponenten (also die Eigenvektoren, die hier die Basisvektoren, also die Komponenten sind), nicht vermischt. Und die Streckung erfolgt um Faktoren, die die Eigenwerte sind. Deshalb hat D als Diagonalelemente die Eigenwerte.
Ich finde es meistens einfacher so zu verstehen: [mm] P=(a_1, a_2,a_3), [/mm] die [mm] a_i [/mm] sind eine Basis des Eigenraums (bei Vielfachheit 1 die EIgenvektoren, was ich jetzt hier mal der Einfachkeit halber annehme). D is eine Diagonalmatrix mit den Diagonaleinträgen [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, [/mm] den Eigenwerten.
da die [mm] a_i [/mm] EIgenvektoren von A sind, ist
[mm] AP=A(a_1, a_2,a_3)=( \lambda_1 a_1, \lambda_2 a_2, \lambda_3 a_3)
[/mm]
Und [mm] PD=(a_1, a_2,a_3)\pmat{ \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3}= [/mm] ( [mm] \lambda_1 a_1, \lambda_2 a_2, \lambda_3 a_3)
[/mm]
Also AP=PD,
wenn man das ganze von links mit [mm] P^{-1} [/mm] multipliziert erhält man [mm] P^{-1}AP=D
[/mm]
Ich hoffe, das hat dir geholfen.
Gruß,
Vreni
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