Diagonalgestalt der Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:25 So 21.10.2007 | | Autor: | meg |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }
[/mm]
Da muss ich eine Matrix [mm] \{T} [/mm] bestimmen, so dass [mm] \{TAT^-1} [/mm] Diagonalgestalt hat. |
Meie Frage ist, ob meine Matrix [mm] \{T} [/mm] richtig ist:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
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> Gegeben ist eine Matrix
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
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> Da muss ich eine Matrix [mm]\{T}[/mm] bestimmen, so dass [mm]\{TAT^-1}[/mm]
> Diagonalgestalt hat.
> Meie Frage ist, ob meine Matrix [mm]\{T}[/mm] richtig ist:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
Hallo,
das kannst Du ja selbst ausrechnen:
invertieren die Matrix und schau dann, ob [mm] TAT^{-1} [/mm] eine Diagonalmatrix ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 So 21.10.2007 | | Autor: | meg |
| Aufgabe | ok, ich habe es ausgerechnet..
Es ist leider eine symmetrische Matrix.
Ich habe erstmal die Eigenwerte ausgerechnet $ -1 $ und $ 3 $ mit der Vielfachkeit 2.
Dann habe ich die Eigenvektoren ausgerechnet und die in einer Matrix $ T $ vorgestellt. |
Was muss noch gemacht werden?
Danke fuer Eure Antworten!
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Hallo,
ich hab es nur ganz auf die Schnelle mal angeschaut, aber in meiner Rechnung hat der Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda_2=3$ [/mm] "nur" die Dimension 1.
Also ist deine Ausgangsmatrix nicht diagonalisierbar, also nicht ähnlich zu einer Diagonalmatrix.
Gruß
schachuzipus
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Oha,
das ist Unsinn, da die Matrix reell und symmetrisch ist, muss sie diagonalisierbar sein.
Ich hätte mal besser hinschauen sollen ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
ich setze den Status mal zurück
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 Mo 22.10.2007 | | Autor: | meg |
Also habe ich 3 Eigenvektoren..
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0} [/mm] zum Eigenwert $ 1 $
und
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1} [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 } [/mm] zum Eigenwert 2
Was dann?
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Hallo meg,
so jetzt hab ich's mal richtig angeschaut 
Dein Vorgehen ist bisher richtig, die Eigenwerte stimmen und die Eigenvektoren dazu auch.
Nun muss gelten, da A diagonalisierbar ist: A ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix D, die die Eigenwertew von A auf der Diagonalen stehen hat.
Es gilbt also eine invertierbare Matrix T mit [mm] $A=T^{-1}DT$, [/mm] wobei D die Diagonalmatrix ist, die die Eigenwerte von A auf der Diagonalen stehen hat.
Wenn du das umformst, hast du [mm] D=TAT^{-1}
[/mm]
Schreibe die berechneten Eigenvektoren nun als Spalten in die Matrix T
Also [mm] T=\pmat{ 1 & 0&1 \\ -1 & 0&1 \\0 & 1&0 }
[/mm]
Dann berechne [mm] T^{-1} [/mm] und danach mal [mm] TAT^{-1}
[/mm]
Es sollte [mm] D=\pmat{ -1 & 0& 0\\ 0 & 3&0 \\0 & 0&3 } [/mm] rauskommen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:48 Mo 22.10.2007 | | Autor: | meg |
Hi,
Ich habe mich vertippt!
Ich sollte eine Matrix $ T $ finen , so dass $ [mm] TAT^T [/mm] $ Diagonalform hat...
Aendert das etwas??
Entschuldige...
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> Hi,
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> Ich habe mich vertippt!
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> Ich sollte eine Matrix [mm]T[/mm] finen , so dass [mm]TAT^T[/mm] Diagonalform
> hat...
> Aendert das etwas??
Hallo,
Du hast doch mit A eine symmetrische Matrix, deren Eigenvektoren "automatisch" orthogonal sind.
Aus schachuzipus' Matrix T kannst Du nun sehr leicht eine orthogonale Matrix machen - ich nehme nämlich stillschweigend an, daß nicht nur irgendeine Matrix S gefordert war, für welche [mm] SAS^{T} [/mm] Diagonalmatrix ist, sondern daß die Matrix S orthogonal sein soll. Stimmt's?)
Wie ist das eigentlich bei orthogonalen Matrizen mit den Inversen und den Transponierten???
Abgesehen davon, kannst Du natürlich auch mal testen, ob Du mit schachuzipus Matrix T für [mm] T^{T}AT [/mm] eine Diagonalmatrix bekommst - allerdings ist T nicht orthogonal, s.o.
Gruß v. Angela
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> Schreibe die berechneten Eigenvektoren nun als Spalten in
> die Matrix T
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> Also [mm]T=\pmat{ 1 & 0&1 \\ -1 & 0&1 \\0 & 1&0 }[/mm]
>
> Dann berechne [mm]T^{-1}[/mm] und danach mal [mm]TAT^{-1}[/mm]
VORSICHT: Es ist hier [mm] T^{-1}AT [/mm] zu berechnen!
Gruß v. Angela
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> Es sollte [mm]D=\pmat{ -1 & 0& 0\\ 0 & 3&0 \\0 & 0&3 }[/mm]
> rauskommen
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